教學疑義-乘法交換律
雖然是老掉牙的問題，但似乎是蠻「經典」的~
數學問題：一隻青蛙4條腿，問5隻青蛙有幾條腿？
一般的教學疑義有下述幾點：
Q1：要寫4×5還是5×4呢？
Q2：不同國家有不同的寫法，為什麼一定要寫成4×5呢？
Q3：如果學生寫5×4要打對還是錯呢？
Q4：該怎麼樣跟家長解釋呢？
Q5：要怎麼幫學生呢？
或許我們可以有以下幾點反思：
Q1：需要制定規定嗎？如果需要，那為何是4×5，而不是5×4呢？
A1：需要，制定書寫規定的目的在於溝通，讓老師可以在不需進一步溝通了解的情況下，清楚孩子的想法，而在清楚孩子的想法之下，才能給予適當的協助；那又為什麼是4×5呢？這是屬於台灣人格式演進的問題，需要考究一番，或許可以問問洪萬生老師。
Q2：如果寫5×4要打對還是錯呢？
A2：個人建議不要打錯，中年級以前可以把它打一個「△」符號，代表需進一步了解，但到了高年級以後就可以不再要求了，因為此時孩子已經比較能將乘法交換律視為當然了，有時甚至是故意交換以求速解，例如9×14不容易心算，把它改成14×9比較好算，或甚至是配合乘法結合律4×9×25＝9×4×25＝900。因為此類妙算大多是安排在五年級，所以上了高年級一般是不再要求。
Q3：前文說到中年級以前需進一步溝通，該怎麼溝通？
A3：師：你5×4這個算式怎麼來的？ 生：就從問題來的？
師：那你可不可以寫成加法的算式給我看看
個案一 生：4+4+4+4+4 →清楚問題，但對格式不清→○
個案二 生：5+5+5+5 →三種情形 （低、中、高），需要追問
個案三 師：怎麼知道這樣算 生：不清楚或就兩個數乘起來（低）→╳
個案四 生：兩種都是20（訴諸於結果），一樣阿（中）→○
個案五 生：解釋5+5+5+5的由來（訴諸過程）（高）→○
Q4：如何面對家長？
A4：讓他信任你，就不需再多做解釋；當然，如果家長只重視分數，那可以採教學從嚴，批改從寬。
Q5：孩子學習「乘法交換律」的幾個階段為何？
A5：一剛開始是源自於背誦九九乘法表的「數學事實」，因為4×5＝20、5×4＝20，訴諸於結果相同，所以4×5＝5×4；接下來大多是採面積模式解釋，因為長×寬＝寬×長，所以4×5＝5×4；最後是把單位量和單位數互換，也就是先數青蛙的左前腳，共有5條，然後右前腳、左後腳、右後腳，所以是5×4。
如果看完上述，你還有體力，可以細看下述的教學活動
階段O：以加法解決「一隻青蛙4條腿，問5隻青蛙有幾條腿？」的問題
在這個階段，除了解答之外，有一個非常重要的任務是理解「乘法情境」，怎樣才算是理解呢？要清楚兩件事：「一次有幾個（被複製的單位有幾個）、有幾次（複製的次數）」，所以老師必須在解題過程中，藉由多元的方式，如實物（具體物）、繪圖（半具體物）或算式一而再、再而三，不斷的強調「一次有幾個、有幾次」，這是乘法情境的重點之處。
這是在替未來鋪路。
階段I-1：以乘法記錄「一隻青蛙4條腿，問5隻青蛙有幾條腿？」的問題
談到記錄的方式其實是可以很自由的，要寫成4×5或5×4或（4,5）或…都是可以的，現在重要的是被記錄下來的符號代表什麼意思？而這個意思是大家都認同的嗎？
所以這時候可以這麼引導，口語佈題
「一隻青蛙幾條腿？ 4條，再一隻？ 8條，再一隻？ 12條，再一隻？ 16條，再一隻？ 20條」
「好，我們來寫成乘法的算式，一隻青蛙幾條腿？ 4條→在黑板上寫上4×」
「剛剛總共有幾隻？ 5隻→在黑板上補寫上4×5」
這是延續階段O，「一次有幾個、有幾次」的節奏，並把他用乘號記錄下來
階段I-2：以九九乘法表解決上述青蛙問題
讀題之後記錄成4×5，然後背出答案20
在這個階段，如果孩子在階段O的訓練不扎實，在階段I-1的格式沒有好好引導，而且很早就熟背九九乘法表（同時也記憶了乘法交換律的數學事實），再加上大人的數學世界是容許乘法交換律的，此時有關「乘法交換律的教學疑義」就會浮現。
階段II-1：引入面積模式
為了加速孩子們早點理解「乘法交換律」，讓孩子們眼見為憑，所以引入「面積模式」，因為面積的保留概念，同一個長方形，經過剛體運動之後其面積不變，由此，孩子深刻感受到「長×寬＝寬×長」，兩者的功能都是在求出長方形面積。
階段II-2：推廣到其他的乘法情境中
Greeno
的乘除情境模式，將乘法應用問題類型分成：等組型問題、比較型問題、組合型問題
、陣列型問題四種類型。說明請參考
截至目前為止，已經歷過的乘法情境是「等組型問題」和「陣列型問題（面積模式）」，進一步以「乘法交換律」的基模解決「比較型問題」、「組合型問題」。
在這階段中，透過面積模式的引入之後，孩子們就大多可以把「乘法交換律」視為常態，而相信它，所以在面臨「比較型問題」、「組合型問題」時也就呼攏過去，為什麼說是呼攏呢？重新檢查一下「一次有幾個、有幾次」的節奏，就可以知道端倪。
階段III：單位量和單位數的互換
要真的說是互換，就不能是靠背誦的，不能是藉由圖形的剛體旋轉的，而是要真真實實的轉換。以青蛙問題來說，先數青蛙的左前腳，共有5條，此時5條是做為一個單位量，接下來依序複製3次，右前腳、左後腳、右後腳，所以共有4次，這是單位數，因而記下單位量×單位數→5×4，這才是真正的瞭解。
但，因為上述說法也被說爛了，很可能的老師在課堂上即以此說帖做為教材，所以當孩子被詢問時，他只是背誦出老師的說帖而已，此時該怎麼進一步檢驗呢？
這就考驗大家的智慧了~
最後還有體力，也可以參閱Google的資料…….這時候，應該可以評論了喔!
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