Wei's teaching sky: 2013

2013年11月11日星期一

「數學解題」－解題地圖

就國小數學六年級上學習第一次月考前的幾個單元為素材，跟孩子們談些數學解題。

今天的主題是「解題地圖」，是指孩子解「非例行題」時，埋頭思考時所依藉的心智地圖，在地圖中包含三個重要的元素：入口（條件）、出口（結果）和兩者之間可能的路徑。

註：非例型題是指平常不容易出現或孩子沒有看過的題目。因為，如果是孩子所熟練的題目，不太需要思考，背出來就好。

一、題型分析

這是一個古典的問題，在上完圓周長、圓面積的基本題後就會出現，題型分析如下：

條件：圓周長50.24公分求答：圓面積

媒介物：圓周長公式、圓面積公式

二、解題地圖教學

（一）先聊聊搭車的經驗，從清水怎麼到台北

1.清水→清水火車站→台北火車站

2.清水→烏日高鐵站→台北高鐵站

3.清水→清水火車站→烏日高鐵站→台北高鐵站

（二）求解已知圓周求圓面積的問題

1.圓周長就像是出發點：清水

2.直徑就像是清水火車站

3.半徑就像是烏日高鐵站

4.圓面積就像是目的地：台北

我們今天要走的是第三條路線，「圓周長→直徑→半徑→圓面積」。

三、解題地圖診斷與訓練

有了上述的解題經驗，在教學上可以進行下述的診斷、訓練

1.協助孩子找出可能的媒介物

2.媒介物可能有很多種，透過嘗試、驗證，讓「可能性」變成「必然性」

3.透過解釋，也就是「說」，讓解題過程流暢

四、進階I

類型一：困難的問題就像施以「魔法」，遮掩住「出發點」，也就是條件

如圓周長、圓面積單元

第1題：原條件是「圓周長=282.6cm」，但卻施予魔法不直接給。

第2題：原條件是「直徑=18cm」，但卻施予魔法不直接給。

第3題：原條件是「圓周長=18840cm」，但卻施予魔法不直接給。

另外看看最小公倍數單元

第3題：原條件是「7天的倍數才去」，但卻施予魔法不直接給。

五、進階II

類型二：困難的問題就像施以「魔法」，遮掩住「目的地」，也就是求答

如圓周長、圓面積單元

第4題：原求答是「大、小兩圓的周長」，但卻施予魔法不直接給。

第5題：原求答是「大、小兩圓積的差」，但卻施予魔法不直接給。

另外，有些魔法是需要「建立在求答數上，再多轉個彎」的，如最小公倍數單元

原求答是「最小公倍數」，但卻施予魔法再多轉個彎。

六、進階III

此類是「中間的可能路徑很多」，不容易辨識，在理化的學習中也經常出現，但在小學的數學中，數量還不多，先不做介紹。

【末記】

和「解題地圖」相關的有「鑰匙理論」或「握手原則」。

「鑰匙理論」強調「問題和解題方法」之間的關係，但常常地，孩子在學完解題法之後，把鑰匙放在背後，只能當裝飾品，臨陣時無法發揮功能。或者，隨著知識的增長，鑰匙越來越多，多到…不知道要用那一隻。在本文的歸類為第III類型難題。

「握手原則」強調「條件所衍生的可能路徑」和「接近求答的可能答案」之間的關係。釐清條件，並做進一步的轉換是解決第I類型的難題；清楚求答或推測可能的答案是解決第II類型的難題。

2013年11月8日星期五

「數學解題」－執行

就國小數學六年級上學習第一次月考前的幾個單元為素材，跟孩子們談些數學解題。

今天的主題是「執行」，也就是算出數值的過程，說白了，就是計算。

之前曾為文「教學省思-數學五上-收心操」，就是協助執行的答對率

http://mathematize7.blogspot.tw/2013/07/blog-post_29.html

一、先看看分數的例子

上圖

第5題，是這個單元的基本型計算題。對大人而言，把它視為單一步驟問題，但對孩子而言，每一個式子的轉換都可能還需要一點點停頓的思考機制，也就是說，對孩子而言，這是一個多步驟問題。其中一個小小的步驟出了問題，也就錯了，在小學之中，這些問題屢見不鮮。在教學上，檢視進入本單元之後最主要強調的那個小步驟，一再反覆的練習，並且習說原因，或許可以減少錯誤，如圖。

第6題，是有餘數的問題，是進階型問題。一般的解法有兩種，如下圖：

從第3個步驟開始分流，第1種算法是採包含除的方式處理，是本題的原始作法，最容易出錯的地方是直式計算完後的作答，第I錯誤類型－餘數是90，第II錯誤類型－假分數換成帶分數之後，再把帶分數的整數回加到商。這些錯誤類型都是因為孩子在過去的數學學習過程中「博而不精」，所謂的「博」是指腦袋瓜中塞了許多算則，而這些算則跑出來鬧事情，讓孩子習慣性的去做一些以前是對的，但現在是錯的事；所為「不精」是指並沒有思考其原因，特別是思考當下所求或指涉的量為何。

第2種算法是採等分除的方式處理，是本題的進階作法，最容易出錯的地方也是餘數，把不滿1的分數部分視為餘數。雖說這個方法是進階的，但在補習班或孩子們心中卻是更容易的作法，原因之一是可以約分，計算方便，原因之二是可以直接依照問題類型判斷需不需要後半段的轉換，不需要餘數→計算到前半，需要餘數→補上後半。

所謂的「容易」只能代表著可以正確執行並且答對，對大部分的孩子來說，計算過程是背出來的，因為是分數除以分數的關係，除完之後，孩子已經昏了，已經搞不清楚此時此刻商（分數）的單位是包、還是個、還是片，所以此時，老師或家長必須給孩子時間經歷一段「錯…哎喲」的經驗，然後再逐步修正。另外，也因為孩子已經忘了商的單位為何，所以在後半部的計算中，孩子也常常找錯對象，整個就是亂。

九年一貫之後為什麼這麼強調理解，原因就在，理解過後的算則是有生命力的，可以逐漸茁壯，死背下來的算則是一部功能不全的計算機，頻頻出錯。

二、小數的例子

小數的計算也是一個多步驟問題，多做、多強調步驟，反覆習說原因或許可以減少錯誤。

【末記】

在小學階段，「執行」能力的培養特別重要；上了國二、高中之後，在計算上沒有太多問題，才可以把重心放在其它解題能力上。

至於執行能力怎麼培養？多做、分佈練習吧！

目前筆試還是測驗的主流，想要讓孩子拿高分，執行能力很重要；特別是，嘗試「做中學（learning by doing）」或「數學探究（mathematical inquiry）」的老師更不能忽略此一重要環節，雖說魚與熊掌不可兼得，但活在紅塵中，宜入世修。

2013年11月7日星期四

「數學解題」－協助讀題part II

就國小數學六年級上學習第一次月考前的幾個單元為素材，跟孩子們談些數學解題。

今天的主題是「協助讀題」，或說，讓數學不那麼數學，或說，把問題改成孩子能接受，並且促使後續計畫進行的讀題。

一、透過「算式填充題」的媒介

當孩子遇到這類問題時，孩子如何勇敢的去列出「98÷14%呢？」，是套解題模式，還是真的了解「當量除的問題情境呢？」

加個媒介，以「算式填充題」做為媒介，可以幫助建立量與量之間的關係，一方面也就協助了解題意。

相同的例子如：

教學如下：

在小數除法也出現類似情形。

教學如下：

二、透過「表格」的媒介

當孩子遇到這類問題時，該怎麼著手？因為「比」，並不是「量所對應到的一個準確的數值」，所以孩子不太習慣拿來運算，也就是相加減，當然，更別說是乘除了。

使用表格的方式，可以做一點規定，順便幫量與量彼此之間的對應關係排列整齊，算是一種整理訊息的方式。

相同的例子如：

教學如下：

【末記】

透過「算式填充題」或「表格」的媒介協助孩子了解題意，在數學教學的內涵上是優於part I的「將數值改成整數」和「換句話說」策略。

首先，是一種數學工具的學習得。

其次，建立關係或重整關係以了解問題情境。

最後，有利於後續的計算。

給他按個讚吧！

「數學解題」－協助讀題 part I

就國小數學六年級上學習第一次月考前的幾個單元為素材，跟孩子們談些數學解題。

今天的主題是「協助讀題」，或說，讓數學不那麼數學，或說，把問題改成孩子能接受，並且促使後續計畫進行的讀題。

一、將數值改成整數

當孩子遇到這類問題時，孩子原本熟悉「誰是誰的幾倍？」的，但因為分數進來搞鬼，導致了混淆，所以無法選擇正確的解題步驟。此時，適時的將「分數數値」改成「整數」，可以幫助孩子了解題意，選擇到正確的運算符號「＋－×÷」，得分。

相同的例子如

二、換句話說

遇到比值或幾倍的問題，常面臨到用語太過數學，所以孩子無法驅動解題基模，這時，「換句話說」改寫一下，可以幫助孩子了解題意，驅使解題基模，繼續後續的解題活動。

如上上圖

第4題「某數比35」寫成□：35，「比值是5」換句話說成「比是5：1」，這麼一來孩子們熟悉的形式，比的形式就會出現□：35＝5：1，問題就迎刃而解了。

第5題「甲數是乙數的」，把「二又三分之一倍」換句話說成「比值是二又三分之一」，再換成「比是二又三分之一：1」，這麼一來孩子們熟悉的形式，比的形式就會出現甲：乙＝二又三分之一：1，問題也就解決。

【末記】

「將數值改成整數」和「換句話說」這兩個解題技巧主要在協助孩子了解題意，但究其根本，孩子無法了解題意是分數概念發展上的問題，所以這兩個技巧雖能多多少協助孩子暫時增加點分數，但畢竟是治標不治本。

只不過，這些技巧，也可以一直沿用到國高中的考試之中，打腫臉充充胖子…

註：一般來說將分數概念的發展分成五個子構念：分數概念分為部份－整體(part-whole)、測度(measure)、比值. (ratio)、商(quotient)、與運算子(operator)五個子構念。

2013年11月6日星期三

「數學解題」－讀題與題型變化

就國小數學六年級上學習第一次月考前的幾個單元為素材，跟孩子們談些數學解題。

今天的主題是「讀題」並兼談「題型變化」

有些孩子計算過程都可以接受了，但就是沒得分，為什麼？「答非所問」…可惜啊!

一、先看清楚「本大題」的要求，依照要求回答

孩子可能已經學會小數除法，但要除到什麼程度？該怎麼作答？需不需要驗算？這都是得分之鑰。

在小學階段，孩子拿到題目就算的，很多；等到考卷發回來才說是粗心，但一而再、再而三出現的粗心，就不是「粗心」簡單兩個字帶過就好，這屬於一種系統性錯誤。但主要的原因不詳，可能跟孩子的個性有關，或孩子還沒有把筆試的流程融入成心智習性（habit of mind）。另一個常見的例子是應用問題的作答不寫單位。

期望透過一再的提醒，孩子能早日將筆試的流程融入成心智習性。

二、讀題

清楚「條件」與「求答」