教案設計-五上-整數的簡化計算-2

2/3

目標：藉由解「乘法對加法的分配律的情境題」，引入括號的需求，並了解算術規則。

 

Begin

核心問題一~

透過解題，嘗試括號的初體驗

師：（口語佈題＋手繪情境）老師到禮品屋買小禮品，1個馬克杯45元，包裝需要5元，老師買了23份，需付幾元？（小組討論＋發表）

   

師：甲的算式有括號，為什麼需要括號？

師：如果甲的括號是需要的，那麼乙需要補上括號嗎？

師：（發表後）老師針對四組發表進行簡單批閱，提出一些解題特徵，並歸納出－甲乙組是採橫式記錄，丙丁組則採直式記錄。

  子活動一

  透過橫式記錄，模仿括號的使用

 

      師：請丙丁組模仿甲乙組的方式，將直式改寫成橫式

      師：再批閱新的解題，並提出解題特徵

      師：丙(新)的算式有括號，丁(新)的算式沒有括號，需要括號嗎？為什麼？(複習上一節課的算術規則)

      師：孩子們，你覺得你會想用那一個解題方式？

 

核心活動二

從佈題的數字上著手，引誘孩子使用「快」的解題方式

 

師：（口語佈題＋手繪情境）現在物價上漲，1個馬克杯239元，包裝需要11元，老師要買40份，需付幾元？（小組討論＋發表）

 

    師：（發表後）老師針對各組發表進行簡單批閱，提出一些解題特徵

    師：有兩種解題的方式，孩子們，你覺得你會想用那一個解題方式？為什麼？

    生：第二種比較快

    師：那我們來練習「快」的解題囉~

 

===第二節結束（每節課並非40分鐘，依班級特性調整）===

 

反思

本節課處理本單元數學教學構念之三，基於不想讓孩子們的腦袋瓜中是一條條的規則，所以期望透過逐一辯證的過程，讓孩子們的學習材料是很豐富的。然而依應每個班級的特性或發表不同，辯證的過程可能有異，老師此時的教學意象（teaching image）是把自己想像成一個中醫師，以「望、聞、問、切」來診斷孩子們的認知現況，調整佈題與發問，進行一場高潮起伏的診斷教學。

 

在核心問題一中，主要能成功的解決「乘法對加法的分配律的情境題」就好，在格式上並不特別要求；但因為透過發表，部分孩子已有括號的經驗，或補習班已經學過，所以本活動也提供孩子們括號的初體驗

在子活動一中，主要是透過橫式記錄，迫使孩子們模仿括號的使用；建立在上節課算術規則的基礎上，嘗試從討論中了解括號使用的時機

在核心問題二中，主要是促使孩子使用包含括號的算式，透過數字的設計和算式的比對，讓孩子們喜歡嘗試「快」的方法。然後，接下來是練習；但在練習階段，可以看到部分孩子們還是喜歡用原來慢的方法，主要原因是孩子們認為熟悉的方法比較保險，孩子在「快」和「保險」兩方拉扯。

ps.「老師批閱解題，並提出解題特徵」此一活動，可以依課程進度和班級特性，改成孩子們發表並指出。

教案設計-五上-整數的簡化計算-1

教案設計-五上-整數的簡化計算-1

【基本理念】

部分學者以APOS理論來描述孩子們學習的歷程。簡單的說，孩子們透過大腦運作的機制，將「數學學習材料」壓縮成高濃度的「數學概念」；當面臨解題時，在必要的情況下，孩子們會進行解壓縮，重新比對再組織。

如果上述的理論屬實，你會期望你的孩子們解壓縮之後的數學學習材料是一條條數學規則嗎？

1/3

目標：在能解「加減乘除混合情境題」的情況下，透過「改寫併式」的活動，了解式子的意義及運算規則，並推廣到非脈絡下的計算題。

ps.如果「加減乘除混合情境題」太難，就先挑軟一點的

Begin

引子~

1.「收心操」

2.嘗試四年級的基本運算

如：150－40＋90＝     或   如：847÷11－49＝

簡單提醒：遵循算術規則－由左而右、先乘除後加減

核心問題~

解「加減乘除混合的情境題」-直接從比較難的問題著手

師：1個麵包35元，4個奶酥40元，媽媽買3個麵包和7個奶酥，共付幾元？

      師：答案是不是175元。來，我們一起做看看，書寫3×35＝105，40÷4=10，10×7＝70，105＋70＝175。

  子活動一~

  改寫併式

         師：上面的算式，把它合併成一個算式，試試看

         生：3×35＋40÷4×7＝……

      師：說一下式子的意思

      師：等式記錄的方式和格式的討論（合理性討論）

  子活動二~（如子活動一，視需求進行）

  改寫併式

      師：….出一題「乘除混合的情境題」

      師：把它合併成一個算式，試試看

      師：

  子活動三~

  去脈絡的算式計算                                                 

      師：算看看3×45＋80÷4×2＝

      師：怎麼知道這樣算？你是遵循什麼規則？

      師：算算看…連加、連減、加減混合、連乘、連除、乘除混合的問題類型

      ……

      歸納並複習四年級的算術規則－由左而右、先乘除後加減

===第一節結束===

反思

本節課處理本單元數學教學構念之一和二

這是基本的【起、承、轉、合】式教學法

「起」引子：引發舊經驗

「承」核心活動：承接孩子的舊經驗，挑選班上適合的問題類型

「轉」子活動一、二，是本節課的重心，著重於式子與式子轉換的意義

「合」子活動三，推廣到非脈絡的計算題，複習結論

ps.本節課還不處理「妙算」，也就是加括號的問題，單純複習四年級的算術規則，只是把問題情境類型擴充到連加、連減、加減混合、連乘、連除、乘除混合、加減乘除混合的問題類型，讓孩子們的基模再穩固些

數學教學構念-五上-因數和倍數

數學教學構念-五上-因數和倍數

【分析】

眾所皆知~

建立在孩子們四年級乘除法的基礎上，五上本單元主要處理「因數」、「公因數」、「倍數」、「公倍數」四項數學知識

【組織】

一般的「數學教學構念」是從「因數」到「倍數」，但爾後也有些學者認為從「倍數」著手比較自然；等待因數和倍數都熟悉了，從「因數」到「公因數」，從「倍數」到「公倍數」。此類的設計理念是採「原子論」的邏輯設計，也就是從「元素（element）」著手再組合成「化合物（compound）」

      但我採取了另一個觀點－「解題技巧進化（the evolution of problem solving）」，嘗試進行組織，先從「定性」再到「定量」。

本單元的「數學教學構念」如下

一、先佈一個需要透過求公因數才能解決的情境題-「定性」

       1.問題情境要讓孩子能夠了解，這樣孩子才能夠進入解題脈絡

2.佈題的數字盡可能小一點，這樣孩子才能夠畫畫圖或進行嘗試

二、把數字加大，衍生出「定量」的數學問題，從中分析出因數-如圖1-「定性」；圖2-「定量」

Ps.因為定量所以才需要求因數

圖1

圖2

三、如一，但將核心問題改成「公倍數」-先「定性」

四、把數字加大-再「定量」

Ps.因為定量所以才需要求倍數

要讓孩子們習得上述的數學知識

老師們，該如何呢？

數學教學構念-五上-整數的簡化計算

數學教學構念-五上-整數的簡化計算

 

建立在孩子們四年級的基礎上，五上本單元主要還是在處理「數學規則」

可以分成5個層次的構念

一、複習四年級的計算原則-圖一之左

    1.同級運算：由左至右

    2.不同級運算：先乘除後加減

二、從問題類型的「加廣」，延續四年級的計算原則-圖一之右上.圖二之左上

    1.連加、連減、加減混合

    2.連乘、連除、乘除混合

    3.加減乘除混合

三、從併式談分配律，並引入含括號的算式-圖二之右

四、從解題策略上「加深」，突破四年級的計算原則-圖一.二之「妙一下」

    1.如二之類型
五、去括號：四的逆活動，包含「=」或式子的練習-圖三

 

要讓孩子們習得上述的數學知識

老師們，該如何呢？

圖一

圖二

圖三

教學省思-數學五上-收心操

【重點】

「收」是把原本的鷹架收掉
「心」是以心算來處理
「操」是指練習，必須採分布練習

讓孩子們具備簡易的心算能力，此類訓練需要採分布練習；也就是說，每天上午或回家功課出個15-20題，帶狀性的練習一至兩個星期，直到精熟為止。

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升上五年級，老師接了新班級，滿懷欣喜的準備充足的課程內容

準備一股腦兒的傳授給徒弟，但往往在第一單元之後，就受挫了……

先看一下這兩個例子

 

 喔~原來都是計算錯誤

    這一類的錯誤，大部分的家長或老師都會認為那是小孩子粗心，就輕易的放過。其實，如果這一類的錯誤一再出現，那就叫做「系統性錯誤」，而不是粗心兩個字簡單帶過

    此類的錯誤，如果是「個性」或「學習風格」的問題，那就比較難解決，或許得再等他長大一點，看會不會改善

但如果是「教或學上的問題」，那成功的機率就比較大

先看這兩個例子

 第一個是「字體對正」問題，要求孩子時，不一定要寫得很漂亮，但至少要端正

第二個是「標記」問題，原先的標記是協助孩子計算的準確度，但這個鷹架必須找個時間把它收掉，否則只會影響後續計算的流暢性，甚至是準確性。

【解決處方】

 「二位乘以一位」的簡易心算，口訣如圖(如有更棒的，可自行調整)

為何選擇二位乘以一位，因為他能夠同時練習加和乘，同時也是除法估商的基礎

數學活動-四下時間單元篇

在數與量(N)的能力指標中,確定數值就是一個數學活動
      方法從最基本的數數(count)逐漸的演變,情境從整數到分數到小數,從精算到估算
      雖著問題情境的變化,要求的不同,解題方法也跟著逐漸進化,到高年級之後,
      甚至能夠透過「除法算則(division algorithm)」 a=bq+r 或應用輾轉相除法原理(a,b)=(b,r)來確定數值
 時間單元在能力指標的分類上歸屬於數與量(N)中的「量與實測」
      既然屬於數與量,則其相關數學活動就長得像數與量,而和幾何篇的數學活動迥異

數學活動(mathematical activities)
「量感的培養」：透過感官或測量工具的使用,讓孩子對量的掌握有初步認識 
「基本時間換算」：所謂的基本換算是指一個數學事實,如1日=24時,1時=3600秒,1日=86400秒 
「解題能力訓練」：確認出發點(條件).終點(答案),進而謹慎踏出第一步,並找尋可能的途徑
「解題策略的比較」： 透過辯證過程的競爭,解題策略的特徵被突顯出來,並且得以存活或進一步演化
「非十進位的單位化聚」：一個量所對應的數的指標可能有多個,例如20.2個10,20個1,在時間單位中13:15=下午1:15 
「雙標記系統」： 系統代表一系列有規則的數對,針對同一個量,系統性的給予兩個不同標記系統,進行比較
 
數學教學活動(mathematical activities in teaching)
「數學事實的背誦」：了解之後的背誦,其用意在於提升提取的準確度和速度 
「節奏性讀題」：迫使孩子面對文字題時能更加掌握問題的重點 
「圖像思考」：將冗長的文字敘述或轉換機制,改繪成簡單.達意的圖像,幫助解題時提取 
「調整難度」：逆向題是提高難度的方法之一,但為了避免難度過高,可以採原題目的逆向題,讓孩子在熟悉問題情境的下進行, 逐次調整
「詳記解題過程」：若牽扯到三階單位,常常會忘記商的單位或餘數的單位,若適時順手詳記下來,可避免錯誤,等待熟練之後,再去除
「調整支持度」： 透過實務操作.圖像或數線標記的支持,孩子們可能比較容易依樣畫葫蘆,但這樣的成功並不是真正的了解,需要多方檢視,在缺乏支持的情況下,依然能夠正常運作,並說明運作的機制時,才是真正的了解
「調整教學脈絡」：在四下時間單元中,孩子們必須經歷過量感.數線支持.某種方法獲得正確答案.用算式把答案湊出來.湊的有理.方法比較與進化...等歷程,所以在教學的過程中,老師必須要伸出觸角去感受大部分孩子的需求,從中調整教學的重點與脈絡
 
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數學四下期中考後-時間-4/4

4/4
目標：熟悉24小時制的化聚.解題能力訓練

Begin
核心活動一~
解題能力訓練
      師:現在時刻是16時,21個小時之後是明天下午幾時?
      生:不知道怎麼算
      師:畫個數線,把時間標記在上面,想想看
      生:明天下午1時
      師:寫成算式,怎麼算?
      甲生:24-16=8, 21-8=13, 13-12=1 所以是明日下午1時
      乙生:16+21=37, 37-24=13, 13-1=1 所以是明日下午1時

核心活動二~
24小時制的數線繪製
      師:畫一條數線,採24小時制,從今天上午0時開始,上面標記總時數,下面標記每日歸零的時刻,如附圖

核心活動三~
解題能力訓練
      師:現在時刻是8時,22個小時之前是昨天的幾時?
      生:不知道怎麼算
      師:畫個數線,把時間標記在上面,想想看
      生:昨天上午10時
      師:寫成算式,怎麼算?
      甲生:22-8=14, 24-14=10, 所以是昨日10時
      乙生:8+24=32, 32-22=10,  所以是昨日10時

===第四節結束===

反思
本節課的重點依然在24小時制的化聚,
      透過數線讓孩子容易掌握時刻.時間的關係,等待孩子們獲得答案之後,再要求他們把答案湊出來
      接著,要他們湊的有理,搭配數線圖進行說明  
      在24時制的計算中,個人是比較傾向歸零.分段的方式,也就是甲生的方法

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手札如附圖

What is mathematical activity and in teaching?

What is mathematical activity and in teaching? 

噹噹噹~上數學課了

        老師站上講臺,嘴巴開始講一些「數學知識」,黑板畫一些數學知識,手中寫一些數學知識,透過老師熱情賣力的演出,數學知識逐漸傳輸到孩子的腦袋瓜                      

但~往往練習最多.進步最多.能倒背如流的人是「老師」,所以老師累垮了,學生輕鬆的很

        此類的數學課是透過人類活動(Human activity) 傳送(transfer)數學,勉強只能算是數學活動(mathematical activity)的一種,但並非全部

    Base on the principle of "learning by doing".

        所以嘗試設計一些數學活動,讓學生不僅僅是坐著聽,而是有事情做的,把學習的主體交還給學生

   所以才有「數學四下期中考後-四邊形-1/5~5/5」的產生

   這麼一來,學生很累,也學得更多

數學活動(Mathematical activities)

所謂數學活動就是孩子在進行這些活動的當下,就是在做數學或數學化(mathematizing)

那麼,到底在這個單元有哪些數學活動呢?這些數學活動的用意是什麼呢?

「分類活動」：透過比較(compare).比對(contrast)進行歸納,歸納後的結果是幾個類集(set),分類活動有兩個原則:窮盡和互斥

「數學分類基準說明」：透過說明分析出數學元素,這些元素可以做為分類的基準,它就像是一把刀,用來決定類集,在數學課中則以數學基準為主

「命名活動」：透過命名釐清類集與基準之間的關係,每一個類集依照數學分類基準進行命名

「新例的判定」：透過判定用來釐清正例.非例或反例

「數學工具的使用」：從人體感官性的主觀判定轉向數學工具使用的客觀判定

「再分類活動」：透過分類基準的調整,分類後的結果可以進行調整或細分

「繪製活動」：透過繪製活動表徵出數學類集和其重要元素

「複製活動」：透過繪製活動表徵出數學類集.重要元素和次要元素

「組合活動」：透過組合活動的嘗試錯誤,對數學類集有多元和深入的了解

「數學事實活動」：累積數學事實可以做為數學類集或原理等等的判準

數學教學活動(Mathematical activities in teaching)

數學教學活動的功能在於讓孩子進行數學活動時,能夠提升提升效果(effect)和效率(efficiency)

「溝通」：溝通的用意之一在於避免孩子失焦,讓活動可以是數學的,並且提高活動效能;之二在於改寫成數學語言

「多元思考」：詢問「這次是用...,請問還有沒有其它可能性?」

「挑戰」：挑戰是引發孩子們內在動機的重要因素,當孩子們完成一個階段的任務後,加一點點難度

「降低難度」：如果原問題經過引導之後,孩子們還是沒有適當的想法,必須給予適當的支持,降低難度

「圖像思考」：將上課活動的結果整理成一個圖像,讓孩子在日後的解題中,易於提取使用

「概念衝突」：數學條件和答案中間包含一連串解題步驟,透過程序性的自我檢查,產生衝突,並調整步驟

「記號活動」：記號用來節縮冗長的描述,記號活動的成品可以做為下一個活動的討論材料

「解題能力訓練」：參考解題文獻,從中擷取本節適合的技巧進行訓練

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Chance → Action →Dream

數學四下期中考後-時間-3/4

3/4
目標：熟悉12小時制.24小時制,進行化聚並給予適當的標籤

Begin
引子~
先跟孩子們聊聊一天的作息,
      並指出「中午12點」把時間分成上午和下午,深夜12時把時間分成今日和明日

核心活動一~
12小時制的化聚問題
      師:現在時刻是上午8:45,經過4時30分之後,是下午幾時幾分?
      生:直式8:45+4:30=13:15→下午1:15
   子活動一
   逆向題,從下午著手
         師:現在時刻是上午7:30,經過多久的時間,才會到下午5時?
         甲生:12:00-7:30=4:30, 4:30+5:00=9:30
         乙生:下午5:00→17:00, 17:00-7:30=9:30
    總結與練習
         上午和下午的差別在於加減12時,可以透過「數線」幫助了解

核心活動二~
24小時制的化聚問題 
      師:現在時刻是16時,經過多久的時間,才會到明天18時?
      生:18-16=2
      師:先要求孩子們把數線畫出來並做正確的標記
      生:26時
      師:對了,那算式該怎麼寫?
      甲生:18-16=2, 24+2=26
      乙生:18+24=42, 42-16=26
      丙生:24-16=8, 8+18=26
   總結與練習

===第三節結束===

反思

從引子中可以察覺到孩子熟悉上午.下午.昨日.今日.明日這些詞,但對於換算上是不熟悉的
      也可以說,在「定性:數學性質」上是OK的,但在「定量:單位轉換」上是模稜兩可,所以定量成為本次學習的重點
核心活動一是12小時制的化聚問題,解法大致可以分成兩類,
    因為孩子的生活經驗中,中午12時是個切割點,所以在自然的情況下,孩子可能會選擇甲生的作法,
    但~因為上午.下午的變化單純,所以個人比較期望孩子在此類型問題上,能夠使用乙生的作法
核心活動二是24小時制的化聚問題,解法大致可以分成三類,
    因為此類問題可能牽扯到數日前.昨日.今日.明日.數日後,
    所以此階段個人比較期望孩子至少能熟悉丙生的作法,也就是當日了結的作法

    另外,核心活動二所展現的教學模式,是孩子在有具體物(如手指)或半具體物(如數線等圖形)的協助下成功之後,

       請他列式,再逐一提升作法,這種「先求會再列式」的教學模式,也是很推薦的一種教學模式
最後~就是練習了

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手札如附圖