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前滾翻~後滾翻~練習翻轉啦! 核心---設計數學化的課程讓孩子能夠享受「做中學」的樂趣,透過核心問題的討論.同儕間的合作學習分享,進一步察覺與了解---而與其所呼應的是「國小數學起.承.轉.合教學法」~~~~~~~~~~

2013年11月11日 星期一

「數學解題」-解題地圖

「數學解題」-解題地圖
就國小數學六年級上學習第一次月考前的幾個單元為素材,跟孩子們談些數學解題。

今天的主題是「解題地圖」,是指孩子解「非例行題」時,埋頭思考時所依藉的心智地圖,在地圖中包含三個重要的元素:入口(條件)、出口(結果)和兩者之間可能的路徑。

註:非例型題是指平常不容易出現或孩子沒有看過的題目。因為,如果是孩子所熟練的題目,不太需要思考,背出來就好。

一、題型分析

這是一個古典的問題,在上完圓周長、圓面積的基本題後就會出現,題型分析如下:
條件:圓周長50.24公分  求答:圓面積
媒介物:圓周長公式、圓面積公式

二、解題地圖教學

(一)先聊聊搭車的經驗,從清水怎麼到台北
1.清水→清水火車站→台北火車站
2.清水→烏日高鐵站→台北高鐵站
3.清水→清水火車站→烏日高鐵站→台北高鐵站
(二)求解已知圓周求圓面積的問題
1.圓周長就像是出發點:清水
2.直徑就像是清水火車站
3.半徑就像是烏日高鐵站
4.圓面積就像是目的地:台北
我們今天要走的是第三條路線,「圓周長→直徑→半徑→圓面積」。

三、解題地圖診斷與訓練
        有了上述的解題經驗,在教學上可以進行下述的診斷、訓練
        1.協助孩子找出可能的媒介物
        2.媒介物可能有很多種,透過嘗試、驗證,讓「可能性」變成「必然性」
        3.透過解釋,也就是「說」,讓解題過程流暢

四、進階I
類型一:困難的問題就像施以「魔法」,遮掩住「出發點」,也就是條件
如圓周長、圓面積單元

1題:原條件是「圓周長=282.6cm」,但卻施予魔法不直接給。
2題:原條件是「直徑=18cm」,但卻施予魔法不直接給。
3題:原條件是「圓周長=18840cm」,但卻施予魔法不直接給。
另外看看最小公倍數單元

3題:原條件是「7天的倍數才去」,但卻施予魔法不直接給。

五、進階II
類型二:困難的問題就像施以「魔法」,遮掩住「目的地」,也就是求答
如圓周長、圓面積單元

4題:原求答是「大、小兩圓的周長」,但卻施予魔法不直接給。
5題:原求答是「大、小兩圓積的差」,但卻施予魔法不直接給。

另外,有些魔法是需要「建立在求答數上,再多轉個彎」的,如最小公倍數單元

        原求答是「最小公倍數」,但卻施予魔法再多轉個彎。

六、進階III
        此類是「中間的可能路徑很多」,不容易辨識,在理化的學習中也經常出現,但在小學的數學中,數量還不多,先不做介紹。

【末記】
        和「解題地圖」相關的有「鑰匙理論」或「握手原則」。

        「鑰匙理論」強調「問題和解題方法」之間的關係,但常常地,孩子在學完解題法之後,把鑰匙放在背後,只能當裝飾品,臨陣時無法發揮功能。或者,隨著知識的增長,鑰匙越來越多,多到不知道要用那一隻。在本文的歸類為第III類型難題。


        「握手原則」強調「條件所衍生的可能路徑」和「接近求答的可能答案」之間的關係。釐清條件,並做進一步的轉換是解決第I類型的難題;清楚求答或推測可能的答案是解決第II類型的難題。


2013年11月8日 星期五

「數學解題」-執行

「數學解題」-執行
就國小數學六年級上學習第一次月考前的幾個單元為素材,跟孩子們談些數學解題。

今天的主題是「執行」,也就是算出數值的過程,說白了,就是計算。
之前曾為文「教學省思-數學五上-收心操」,就是協助執行的答對率

一、先看看分數的例子
上圖
5題,是這個單元的基本型計算題。對大人而言,把它視為單一步驟問題,但對孩子而言,每一個式子的轉換都可能還需要一點點停頓的思考機制,也就是說,對孩子而言,這是一個多步驟問題。其中一個小小的步驟出了問題,也就錯了,在小學之中,這些問題屢見不鮮。在教學上,檢視進入本單元之後最主要強調的那個小步驟,一再反覆的練習,並且習說原因,或許可以減少錯誤,如圖。

6題,是有餘數的問題,是進階型問題。一般的解法有兩種,如下圖:

從第3個步驟開始分流,第1種算法是採包含除的方式處理,是本題的原始作法,最容易出錯的地方是直式計算完後的作答,第I錯誤類型-餘數是90,第II錯誤類型-假分數換成帶分數之後,再把帶分數的整數回加到商。這些錯誤類型都是因為孩子在過去的數學學習過程中「博而不精」,所謂的「博」是指腦袋瓜中塞了許多算則,而這些算則跑出來鬧事情,讓孩子習慣性的去做一些以前是對的,但現在是錯的事;所為「不精」是指並沒有思考其原因,特別是思考當下所求或指涉的量為何。
2種算法是採等分除的方式處理,是本題的進階作法,最容易出錯的地方也是餘數,把不滿1的分數部分視為餘數。雖說這個方法是進階的,但在補習班或孩子們心中卻是更容易的作法,原因之一是可以約分,計算方便,原因之二是可以直接依照問題類型判斷需不需要後半段的轉換,不需要餘數→計算到前半,需要餘數→補上後半。
        所謂的「容易」只能代表著可以正確執行並且答對,對大部分的孩子來說,計算過程是背出來的,因為是分數除以分數的關係,除完之後,孩子已經昏了,已經搞不清楚此時此刻商(分數)的單位是包、還是個、還是片,所以此時,老師或家長必須給孩子時間經歷一段「錯哎喲」的經驗,然後再逐步修正。另外,也因為孩子已經忘了商的單位為何,所以在後半部的計算中,孩子也常常找錯對象,整個就是亂。
        九年一貫之後為什麼這麼強調理解,原因就在,理解過後的算則是有生命力的,可以逐漸茁壯,死背下來的算則是一部功能不全的計算機,頻頻出錯。

二、小數的例子
        小數的計算也是一個多步驟問題,多做、多強調步驟,反覆習說原因或許可以減少錯誤。

【末記】
在小學階段,「執行」能力的培養特別重要;上了國二、高中之後,在計算上沒有太多問題,才可以把重心放在其它解題能力上。
至於執行能力怎麼培養?多做、分佈練習吧!

目前筆試還是測驗的主流,想要讓孩子拿高分,執行能力很重要;特別是,嘗試「做中學(learning by doing)」或「數學探究(mathematical inquiry)」的老師更不能忽略此一重要環節,雖說魚與熊掌不可兼得,但活在紅塵中,宜入世修。

2013年11月7日 星期四

「數學解題」-協助讀題part II

「數學解題」-協助讀題part II
就國小數學六年級上學習第一次月考前的幾個單元為素材,跟孩子們談些數學解題。

今天的主題是「協助讀題」,或說,讓數學不那麼數學,或說,把問題改成孩子能接受,並且促使後續計畫進行的讀題。

一、透過「算式填充題」的媒介

當孩子遇到這類問題時,孩子如何勇敢的去列出「98÷14%?」,是套解題模式,還是真的了解「當量除的問題情境呢?」
        加個媒介,以「算式填充題」做為媒介,可以幫助建立量與量之間的關係,一方面也就協助了解題意。
相同的例子如:
 
  
教學如下:

在小數除法也出現類似情形。

教學如下:


二、透過「表格」的媒介

當孩子遇到這類問題時,該怎麼著手?因為「比」,並不是「量所對應到的一個準確的數值」,所以孩子不太習慣拿來運算,也就是相加減,當然,更別說是乘除了。
        使用表格的方式,可以做一點規定,順便幫量與量彼此之間的對應關係排列整齊,算是一種整理訊息的方式。
相同的例子如:

教學如下:


【末記】
透過「算式填充題」或「表格」的媒介協助孩子了解題意,在數學教學的內涵上是優於part I的「將數值改成整數」和「換句話說」策略。
首先,是一種數學工具的學習得。
其次,建立關係或重整關係以了解問題情境。
最後,有利於後續的計算。


給他按個讚吧!

「數學解題」-協助讀題 part I

「數學解題」-協助讀題 part I
就國小數學六年級上學習第一次月考前的幾個單元為素材,跟孩子們談些數學解題。

今天的主題是「協助讀題」,或說,讓數學不那麼數學,或說,把問題改成孩子能接受,並且促使後續計畫進行的讀題。

一、將數值改成整數

當孩子遇到這類問題時,孩子原本熟悉「誰是誰的幾倍?」的,但因為分數進來搞鬼,導致了混淆,所以無法選擇正確的解題步驟。此時,適時的將「分數數値」改成「整數」,可以幫助孩子了解題意,選擇到正確的運算符號「+-×÷」,得分。

相同的例子如

二、換句話說

        遇到比值或幾倍的問題,常面臨到用語太過數學,所以孩子無法驅動解題基模,這時,「換句話說」改寫一下,可以幫助孩子了解題意,驅使解題基模,繼續後續的解題活動。

如上上圖
4題「某數比35」寫成□:35,「比值是5」換句話說成「比是51」,這麼一來孩子們熟悉的形式,比的形式就會出現□:3551,問題就迎刃而解了。
5題「甲數是乙數的」,把「二又三分之一倍」換句話說成「比值是二又三分之一」,再換成「比是二又三分之一1」,這麼一來孩子們熟悉的形式,比的形式就會出現甲:乙二又三分之一1,問題也就解決。

【末記】
「將數值改成整數」和「換句話說」這兩個解題技巧主要在協助孩子了解題意,但究其根本,孩子無法了解題意是分數概念發展上的問題,所以這兩個技巧雖能多多少協助孩子暫時增加點分數,但畢竟是治標不治本。
        只不過,這些技巧,也可以一直沿用到國高中的考試之中,打腫臉充充胖子


註:一般來說將分數概念的發展分成五個子構念:分數概念分為部份-整體(part-whole)、測度(measure)、比值. (ratio)、商(quotient)、與運算子(operator)五個子構念。


2013年11月6日 星期三

「數學解題」-讀題與題型變化

「數學解題」-讀題與題型變化
就國小數學六年級上學習第一次月考前的幾個單元為素材,跟孩子們談些數學解題。

今天的主題是「讀題」並兼談「題型變化」

有些孩子計算過程都可以接受了,但就是沒得分,為什麼?「答非所問」可惜啊!

一、先看清楚「本大題」的要求,依照要求回答

    孩子可能已經學會小數除法,但要除到什麼程度?該怎麼作答?需不需要驗算?這都是得分之鑰。
    在小學階段,孩子拿到題目就算的,很多;等到考卷發回來才說是粗心,但一而再、再而三出現的粗心,就不是「粗心」簡單兩個字帶過就好,這屬於一種系統性錯誤。但主要的原因不詳,可能跟孩子的個性有關,或孩子還沒有把筆試的流程融入成心智習性(habit of mind)。另一個常見的例子是應用問題的作答不寫單位。
    期望透過一再的提醒,孩子能早日將筆試的流程融入成心智習性。

二、讀題
清楚「條件」與「求答」

「條件」最好轉換成圖形
「求答」就得找找?
        有些孩子是不讀題的,用掃描的,然後猜個差不多。
常常思索這些壞習慣怎麼養成的啊?
為什麼孩子那麼敢猜?是因為他以前這麼做就常常對了
但為什麼以前這麼做就常常對呢?
匪夷所思啊!
或許是「加的單元都用加,減的單元都用減」所遺留下來的陋習吧!

三、題型變化
上圖第一題
「最大」→「可能」,那事情就大了;讀題時要小心。

上圖第二題
如果加個?,「有幾顆?」,那事情也不小,偶爾來個「四角不種」,那又得多下點工夫了。


隨便多兩句….意義大不同喔!層次也格外不一樣。

讀題…..小心為妙

2013年11月5日 星期二

教學實錄-六上第五單元圓周率和圓面積-6

教學實錄-六上第五單元圓周率和圓面積-6
教學實錄-61-05-6
時間:35分鐘
例用圓周長導出圓面積公式:資訊融入。
依序展示下述幾個動畫軟體
1.圓面積的導出基本觀念


2.趨近長方形~360等份的展示


3.Proof Without Words - The Circle


4.圓面積相關資源


5.物理連結-風車



6.點數圓面積(本節課未實施)



教學實錄-六上第五單元圓周率和圓面積-5

教學實錄-六上第五單元圓周率和圓面積-5
教學實錄-61-05-5
時間:35分鐘
公佈圓面積估測比賽成績
「起」-作業檢討
       師:老師看到幾種錯誤類型。
       師:有些是不寫直式算式,所以針對上述錯誤進行修改,並且再挑一題新的練習。


「承」-比賽成績揭曉
師:請各組把三個圓的圓面積和相差的資料登錄到黑板上。
師:從結果可以看出,第4.5組的差距很小,第1.2組的差距多些,第3組的差距最多。
師:各組發表一下當出選擇這三個圓的策略。
生:(第4組)選兩個差不多的圓,再選一個超小的圓。

「起」-配合比例的圓面積問題
師:老師現在畫4個圓,請問甲、乙、丙、丁的面積比是多少?

師:請依序回答下述問題。


「合」-老師解題
師:依序解題。
師:其中Q3Q4的答案都一樣,知道為什麼嗎?
師:我們算一下Q5,見證一下奇蹟。


===本節課下課===

教學實錄-六上第五單元圓周率和圓面積-4

教學實錄-六上第五單元圓周率和圓面積-4
教學實錄-61-05-4
時間:35分鐘
點數圓面積
「起」-融入情境
       師:阿姆斯壯的一小步是人類進步的一大步。在數學上,「逼近法」也是人類文明的一大步。
師:說明圓面積是紅色小正方形的3倍。
師:如何用科學的方法更精準的測量。

「承」-打格子
師:用打格子的方法,參考課本。
師:完成課本的練習。


「起」-如果圓周率是3.14求圓面積
師:圓周率是3.14,請各組測量並計算自己組別的圓面積。

「回家功課」-求圓面積
師:請各組把圓的資料抄在黑板上。
師:每個孩子挑兩組的資料當回家功課。


===本節課下課===