2015年2月~6月的教學實錄是寫在”自己的FB”上
2015年7月之後，教學實錄才轉到”FB的粉絲頁”上
今晚花了點時間把這段時間的數學教育相關「連結抓出來」
我的青春啊!(有誤)
2016年2月17日 星期三
2015年7月5日 星期日
2013年9月20日 星期五
何謂「數學化課程的研發設計與實踐」？
經過一段時間的沉澱，寫寫本網誌的期許
思索理論與實務的結合、思索過程與結果的差異
思索...
「數學化課程的研發設計」
總謹記著恩師耳提面命的：「在教學活動中佈置四個類型的問題：現象學的問題、心理學的問題、社會學的問題、人類學的問題」
參考甯自強(82)國教學報第五期─「建構式教學法」之教學觀--由根本建構主義的觀點來看
「數學化課程的實踐」
另外，數學是抽象的，所以在課程的實施過程中特別強調「抽象活動」
但~若孩子沒有足夠的經驗，如何能察覺呢？沒有足夠的察覺，如何能了解呢？
所以在本階段的「數學化課程的實踐」中，借用眾所皆知的作文教學法，採「起承轉合式數學教學」
其中「轉」是每一節課的核心活動，在此階段中，安排數學化活動，也就是抽象活動
「教學實錄」
最後，在一個教學活動中，原本的企圖與規劃常常因為天不時、地不利、人不和的關係，無法付諸實現
所以在本階段的教學實錄中，採假設性學習軌道(hypothetical learning trajectory)的精神，屢見調整的措施
期望透過數學化課程的研發設計與實踐之教學實錄，累積本身實務經驗
並做為同好者溝通的平台
思索理論與實務的結合、思索過程與結果的差異
思索...
「數學化課程的研發設計」
總謹記著恩師耳提面命的：「在教學活動中佈置四個類型的問題：現象學的問題、心理學的問題、社會學的問題、人類學的問題」
參考甯自強(82)國教學報第五期─「建構式教學法」之教學觀--由根本建構主義的觀點來看
在教學活動中佈置四類問題，來影響黨章的學習或發展，
第一、現象學問題：關心特定項目所指涉的數學問題，引發黨章的具體解題活動；
第二、心理學問題：關心學童在特定項目的心理成就與發展，引發學童對自己解題活動的反思抽象；
第三、社會學問題：關心教室內互動中溝通品質，引發學童學習與使用具共識的表徵形式，來公開自己的解題活動及其意義；
第四、人類學問題：關心文化中傳統解題模型或表徵形式的傳承，引發學童對傳統解題策略的認識與調適，或使用約定成俗的格式來溝通與討論。
所以在本階段的「數學化課程的研發設計」中，
所謂數學化課程是指能促使孩子經驗、察覺或了解上述四類問題的企圖活動。
「數學化課程的實踐」
另外，數學是抽象的，所以在課程的實施過程中特別強調「抽象活動」
但~若孩子沒有足夠的經驗，如何能察覺呢？沒有足夠的察覺，如何能了解呢？
所以在本階段的「數學化課程的實踐」中，借用眾所皆知的作文教學法，採「起承轉合式數學教學」
其中「轉」是每一節課的核心活動，在此階段中，安排數學化活動，也就是抽象活動
「教學實錄」
最後，在一個教學活動中，原本的企圖與規劃常常因為天不時、地不利、人不和的關係，無法付諸實現
所以在本階段的教學實錄中，採假設性學習軌道(hypothetical learning trajectory)的精神，屢見調整的措施
期望透過數學化課程的研發設計與實踐之教學實錄，累積本身實務經驗
並做為同好者溝通的平台
2013年8月26日 星期一
國小數學課程與教學活動的「創作」
國小數學課程與教學活動的「創作」
首先要有一個認知：「每一次的創作都是不一樣的，而且並非都是成功的；需要透過教學實務，不斷地修改、再修改。」務實的來談談自己針對一個小單元的的創作歷程吧~
一、先把該單元的學習重點列出來（學科組織邏輯）
就拿起課本，把一些數學內容、數學解題或相關活動寫一寫
二、批判
給課本一些意見；或說，課本沒處理的部分；甚至是，課程編排信念的衝突(改成學科發生邏輯)
三、自己心中的組織圖
思考一下自己教學理念，針對提出的批判做些調整，把它繪成一個概念圖或流程圖；並寫下自己的「第一感（圍棋用語）」。
四、放鬆
去打球、看電視、聽音樂、吃東西、看看閒書或FB…，最後是睡覺，但心中要有個概念圖。然後早上醒來，腦袋瓜就會有答案，趕緊把它寫下來。（跟以前解數學難題很像）
五、組織想法
把自己腦袋瓜的想法寫下，重新組織、調整，讓它精緻些，然後再把新的概念圖或流程圖畫下來。
六、編寫企圖課程
數學教學構念-六上-最大公因數與最小公倍數
【本單元目前進行到這裡】
七、實際教學
八、收集孩子的想法
九、再修改教案
十、繕寫教學心得及教學建議
2013年8月20日 星期二
a tour of knowing-魔術方塊在小五的體驗
a tour of knowing-魔術方塊在小五的體驗
魔術方塊喚起了我們這一代小時候的記憶。想著當時廢寢忘食的把玩；想著當時從一面到兩面到三面，經歷的驚奇與喜悅；想著當時獲得秘笈的欣喜，以及因為無人指導，看不懂秘笈伴隨而來的沮喪。這就是我們的小時候，在沒有太多電視台可以選擇，沒有太多APP可以下載的年代，我們卻玩得很開心；身為一個喜歡探索的老師，該怎麼樣讓自己班上的孩子也享受一下當年的魔術方塊之旅呢？
【目標】
帶孩子們轉魔術方塊，目的並不是讓孩子很快的學會轉魔術方塊，而是讓他們「體驗一個學習之旅」；因為轉魔術方塊沒有進度壓力，所以老師可以從中看出孩子的學習動機，學習風格和自信心，並從中培養孩子們討論學習的風氣。
【對孩子認知的了解】
首先老師必須先了解孩子在轉好六面的過程中，可能會經歷五個階段和兩個瓶頸，在瓶頸處多給學生一點時間摸索。
Level 0 基本能力：轉好一面
Level 1 一面一層
Level 2 一面兩層
Level 3 兩面兩層
Level 4 六面
瓶頸一：一層一面 → 一層兩面：成功的代表會看說明書
瓶頸二：二層兩面 → 六面：成功的代表會靈活組合公式
瓶頸二：二層兩面 → 六面：成功的代表會靈活組合公式
【課程開始】
接著活動的進行很簡單~A1.二個多月前開始這個活動，先教到一面兩層
這時候會發現，有些人很有興致，但有些人卻是卻步不前（採自由鼓勵方式）
A2.等到班上孩子漸漸的沒人轉魔方的時候，再教一次課
教學教像丟石頭，當漣漪停止時（已經會了或遇到瓶頸），再丟一次
A3.重複2的活動
重複丟石頭，然後會發現轉魔術方塊的族群就會日益增多
A4.讓孩子們師徒方式互相觀摩學習
這時候會發現，有些人很有興致，但有些人卻是卻步不前（採自由鼓勵方式）
A2.等到班上孩子漸漸的沒人轉魔方的時候，再教一次課
教學教像丟石頭，當漣漪停止時（已經會了或遇到瓶頸），再丟一次
A3.重複2的活動
重複丟石頭，然後會發現轉魔術方塊的族群就會日益增多
A4.讓孩子們師徒方式互相觀摩學習
A5.一個多月後進行個人檢核，並協助突破瓶頸
A6.二個月後辦理比賽
A7.最終回驗收~有七成五的孩子們可以成功轉好六面
A6.二個月後辦理比賽
A7.最終回驗收~有七成五的孩子們可以成功轉好六面
【讓孩子從活動中體驗到】
「成功的人並不是因為很聰明，也不是因為很努力；成功是因為可以堅持到最後~」最後來一篇作文→「成長的喜悅~魔術方塊的學習」
【心得】
從自己本身的活動企圖到最後的驗收，有以下幾個心得
二、活動的設計原則
最主要的原則就是「吹皺一池春水」，A1~A3中每一次的教學教像丟下一顆石頭，當漣漪停止時（孩子已經學會了或遇到瓶頸），再丟一次。A4主要是培養孩子彼此模仿討論的習慣，當孩子們彼此的協助沒有奏效時，可能是遇到瓶頸，所以衍伸出A5；A6~A7；則是期望藉由外在動機的脅迫，促使孩子學習的節奏。三、孩子學習百態
四、突破瓶頸
基本能力－「轉好一面」，本身就是一個瓶頸；但對小五的學生而言，大多沒有這個困難，所以瓶頸有兩個－「看懂秘笈」、「公式組合」。在指導上宜「放慢指導速度」並「鼓勵信心」，讓孩子有充裕的時間不斷地嘗試，砍掉重練砍掉重練，把成功和喜悅留給孩子。
五、一樣的活動不同的體驗
以前就曾經看過不少班級教過魔術方塊，所以我這次在進行這個活動時，特別反思它存在的意義與可能性，基本上我把它分成三個不同類型的體驗活動如果目標僅在知識層面，那活動不用拉到兩個月，一到兩星期即可全班完成；如果目標放在情意層面，那進行完這個活動，又得再找下一個活動來進行；所以我是把目標拉到信念層面，期望孩子在檢視自己的學習和別人的學習中可以體驗到「成功的人並不是因為很聰明，也不是因為很努力；成功是因為可以堅持到最後~」
END~
2013年8月19日 星期一
數學科教學觀摩和入班觀察~【閱讀教學者】
數學科教學觀摩和入班觀察~【閱讀教學者】
【閱讀教學者】
因為教師專業評鑑的關係，所以現在還蠻流行「入班觀察」，但是雖然研習手冊有一大堆輔助工具可以使用，但人腦就一顆，怎麼填？認真填完之後，大概還是不太清楚這個老師的教學到底如何？
若說教師專業評鑑得交差了事，那該做的檢核資料當然還是得完成；但若只是自己想要透過教學觀摩，精進自己的教學，倒是可以參考以下的作法。
一、流水帳記錄，如圖一、圖二
時間軸、自己看得懂的簡單註記
二、針對文件（text）進行超快速質性分析（多練習幾次，觀課後5 -10min即可完成）
質性分析就是加一些編碼（code），然後切割活動，在數學課中，最重異的切割點就是佈題，以及佈題之後要求孩子們所進行的活動；接著，依照「教學脈絡」、「教學技巧」兩個維度進行組織；當然在可能情況下，可以採用「教學意象」的方式做一個統整。
範例：分數除以分數
我以「起承轉合」式教學模式進行統整如下：
「起1」
Q1：這四分之三張紙要等分成3份，1份是多少？
Demonstrate
「起2」
「起2」
Q2：還是一樣四分之三張紙，每四分之一張一份，全部分完，可以分成幾份？
Display→Why?→Write
down
「承」
Q3：這裡有八分之六瓶的飲料，一人喝八分之二瓶，全部分完，可以分給多少人？
Discuss→Display→Write down
「轉1」
Q4：四分之三張紙，每四分之二張分成一組，盡量分完，會有幾組？請你畫畫看。
Display→Why?→Write down
& Discuss
「轉2」
Q5：八分之五條的蛋糕，每八分之三塊裝成一盒，盡量分完，會有幾盒？請你畫畫看。
Display→Why?→Write
down
「合1」
Q6：黑板上共有4個等式，請同學看看它們之間有什麼相似的地方。
To see is to
believe→Discover
「合2」
Q7：一盒餅乾有8個，吃剩下四分之三盒，謝老師把每八分之一盒裝成一袋，全部裝完，可以裝成多少袋？
【一場教學一個故事】appreciated
by observer
有了上述的資料，於是觀課者可以了解教學者的企圖，也可以順便幫幫教學者寫寫教學心得。
今天想要讓孩子們體驗一下「分數除分數」的規則。先用簡單一點的問題試試水溫，「起1」的問題很簡單，所以我直接講解，算是溝通情境，留「起2」讓孩子們想想。
眼看著孩子們的表現還不賴，就來提升點難度，所以開始「承」，但心中又害怕孩子們不太會，所以就先讓孩子們先提點意見和看法，再讓孩子們自己作答。
孩子們的表現漸入佳境，那主餐「轉1」就給它上來吧，數字先小一點，讓孩子們透過畫圖或操作可以看到答案；但這裡有個核心問題必須處理，所以加點難度，利用「轉2」來徹底釐清。
經過「轉1」、「轉2」的引導，終於收到不少孩子的想法，透過「合1」的式子比較，看看孩子能歸納出什麼規則？接著，「合2」就讓孩子用「合1」的方法進行練習。
【從教學觀摩中學什麼】
一、閱讀教學者
二、教學脈絡的鋪陳
從教學脈絡中看教學者原先的企圖（教案），以及上課調整的情形；例如，「轉2」可能是突然加進來的。
二、教學技巧的選用
在每個佈題之後，老師會估計孩子的可能情形，採取不同的教學技巧；例如簡單的問題可以輕輕帶過就好，難的問題則需要常時間的討論、發表，而且發表後的解題策略還需要進一步比較。
有了這樣的利器，老師就可以從「一般的眼看」邁入「專業的心看」^^
註：「一般的眼看」v.s.「專業的心看」
【一般的眼看】
1.可以看到班上有一個老師、許多學生
2.老師出了一些問題，並且解決了一些問題
3.學生回答了一些問題或只是聽聽
4.老師要求學生做一些稱之為數學課的事，學生也做了些稱之為數學課的事
…
但要【專業的心看】，觀課者要能
1.看到老師的企圖，而該企圖是否達成
2.看到老師對教材的處理方式，是片面性的記憶或全面性的探究
3.看到老師對核心問題的鋪陳，而該鋪成方式是否有效
4.看到老師的教學節奏，是否行之所當行，止於所當止
5.看到老師對學生經驗的掌控，對學生反應的回饋
6.看到老師在課室進行中所進行的診斷觀察及調整
7.看到老師的教學信念
…
2013年8月18日 星期日
「有效教學線上研習入口網」觀賞後心得4:魔術數學的反思-找規律和符號列式
「有效教學線上研習入口網」觀賞後心得4:魔術數學的反思-找規律和符號列式
魔術、代數教學一值是我很有興趣的主題，所以特別花了不少時間才把觀賞後的心得完成，算是告一個段落。
【符號列式的幾點想法】
【符號列式的幾點想法】
1.從規律到符號列式
近年有許多的研究採以「找規律」的方式進入代數式，甚或是藉由表格的方式幫助學生看到代數式，但「看到」並不是終點，必須加一個心理運思活動（mental operation）協助學生節縮掉製表或繁雜的過程。
2.針對單一情境，學生可以透過步驟的模仿，在不知其所以然的情況下建立方程式，所以在方程式的教學活動中要特別側重於外在效度，多嘗試各種類型的情境。（參考未知數原理）
3.對學生而言，符號列式的重點不在代數式，而在關係的建立，然後是關係的轉換（等量公理）。
本文分三部分
一、教學活動的鋪陳（教學脈絡）
二、提出一些看法、猜想及建議
三、心得
一、教學活動的鋪陳
影片經過剪輯，所以只能平實的紀錄我所看到的；從線上入口網所提供的2段影片，剛好呈現2個section。
Section I
1.表演一個魔術
2.核心佈題：「老師需要哪些資訊，才有辦法預言成真？」
3.引導孩子說出某項資訊
4.重述魔術表演的步驟
5.提供學習單， 兩兩
一組，要求學生進行演練，並嘗試找出一些資訊
Section II
1.透過power point協助學生發現資訊，如
第1 題（自問自答）
1)你發現什麼？
2)關鍵是什麼（答案或想法中那步驟重要）？
3)你是怎麼想的？
4)怎麼確認你的想法是對的（證據在哪裡）？
5)答案可以進一步簡化嗎？？
2.巡視學生解題情形
3.學生發表
4.學生再解題
二、提出一些看法、猜想及建議
1.雖然主題是「找規律和符號列式」，但所影片呈現的只有前段，也就是找規律的部分。
2.整個教學脈絡很流暢，我利用先前所提的「起、承、轉、合」教學法，組織如下：
「引子」Section I-1
「起」Section I-2.3
「承1」Section
I-4.5 SectionII- 1.2.3
「承2」SectionII-4
在教學脈絡上，可以這麼處理。「承1」的部分主要在促使學生想法的多樣性，但經過初步的發表，學生之間必有議論或模仿，所以「承2」的部分可能進一步呈現更多的想法，但也有可能因為強勢解題策略出頭，也就告一個段落。
既然是告一段落，「承2」就變成「合」了，但在這樣情況下匆促結束，學生難免成為「知之為知之，不知為不知」，若要完整照顧到大多數的學生，可以增加「轉」的兩個子活動，如下：
子活動一：簡記活動
師：「學生們，你們這麼長長的描述，看起來好暈喔，可不可以用些符號來代表，試試看？」
師：「學生們，你們這麼長長的描述，看起來好暈喔，可不可以用些符號來代表，試試看？」
子活動二：表格化
師：「學生們，你們這麼多的數據，跳來跳去，太閃了，可不可以用表格把它整理起來，試試看？」
透過上述兩個數學化活動，學生自然能夠去繁為簡，在後續的活動中，要引出代數式也比較容易。
3.Section I中所展示的張數是14張，但Section II中學生報告的張數是10張，可見問題情境有調整過。
但實際上，若要調整這個魔術的難度，並不是調整張數，而是調整魔術的步驟，將可變因素固定下來，我將它分成三個難度：
Level I 兩排張數相同，預測後不對調牌子
Level II 兩排張數不同，預測後不對調牌子
Level III 兩排張數不同，預測後可對調牌子
師：「我們可以先把這個魔術怎麼改？」
透過這個維度的難度調整，可以協助更多的學生成功，然後再逐步挑戰。
4.部分孩子已經能使用表格和簡記的方式進行解題，所以可以在學生發表後，就增加「轉」的活動，讓學生練習這兩個數學化活動，有助於日後規律的尋找與符號列式。
5.學生的發表能力很好，似乎已建立穩定的數學的社會規範（social-mathematical norm）；實際上，如果能把這樣的數學的社會規範建立起來，那課程素材是什麼，就變得不是那麼重要了。
三、心得及感想
1.魔術數學包含很多的驚喜，但學生對整個活動卻是陌生的，若在「引子」之後，能先請學生在不知其所以然的情況下，依樣畫葫蘆的先把魔術完成，再進行討論，或許學生能更進入狀況。
2.魔術數學所引發的強烈破解動機，可能導致學生們躲避其他學生的發表；也就是說，當學生投入的深度愈深，其實他是沒辦法停止，當然也很難聽取別人的意見，所以對老師而言，在時間的掌控上是一件挑戰。
3.上台報告的學生雖然報告的振振有辭，老師也可能覺得井然有序，但很有可能沒有學生聽得懂；特別是，採用不同思路的學生，短時間內根本無法進入討論。
4.強烈建議「魔術數學」只用在資優班或專題研究（沒有進度的課程），因為他需要時間，在時間充裕的情況下，才能發揮它的魅力，讓學生能在此外在動機的強力驅使下，透過三個難度的鋪陳、數學化活動（簡記活動、表格化、節縮活動）的引入，過關斬將，而提升其內在動機。
相反的，如果放在一般的課室教學，首先是在時間的掌控上很不容易，其次是一般的老師不容易進行，最嚴重的是打壞學生的學習胃口。
生：「老師，這節課怎麼沒有魔術可以看？」
師：「ㄨㄚ-ㄌㄟ…我那這麼厲害，即便有，我也沒那個體力啊!」
生：「…ㄡ….（失望中…）」
師生之間的社會規範（social norm）可能遭到損害。
2013年8月16日 星期五
「有效教學線上研習入口網」觀賞後心得3:企圖課程的反思-相似形
「有效教學線上研習入口網」觀賞後心得3:企圖課程的反思-相似形
教學的專業來自於反省
But~
What is the dimension for self-reflection？
----------------------------------------------------------
教學者的企圖→從學生熟悉的事務、數學物件開始，透過探索活動，從開放思考中或學生想法多樣性中進來，逐步引導到核心問題，最後收網。
【起】從孩子熟悉的數學物件做為起點
【承】進入核心探索問題，促使孩子呈現想法的多樣性，算是水平成長
【轉】深入議題，可說是抽象活動，算是垂直成長
【合】適情況，看孩子能補到多少魚，但不做結論，重點在促使孩子延續本節課的思考
有了上述的溝通，接下來我直接以「企圖的課程」和「建議」兩部分進行分析
一、企圖的課程
本次活動大致上也可以分為4個section
Section I：期望提供孩子具體物經驗的，從具體物進行溝通
核心佈題：「那一些像？那一些不像？請幫老師分類」
Section II：從具體物活動轉到表徵物活動，期望藉由兩個圖形的比較，使用「相似」的部分元素
核心佈題：「請畫出兩個不像的形狀」
子佈題：「你為什麼會覺得這兩個不一樣？」
Section III：緊縮或回到原本的期望－三角形的脈絡
核心佈題：「請畫出兩個確定不一樣的三角形」
Section IV：透過放大或縮小的活動，比對兩者，突顯相似的元素
核心佈題：「這三角形我把它變大之後，和原圖形有什麼一樣？有什麼不一樣？」
子佈題：「角度一樣了，感覺就都一樣，我可以這麼說嗎？」
二、建議
雖然，個人還蠻支持教學者的教學理念，但觀賞影片時，是直冒冷汗；因為，確實有太多的地方值得提出來討論。以下分別就四部分提出個人淺見：
Section I
1.具體物是立體的，而本次的討論主題是平面的，有點牽扯太遠。
2.相似主題的活動要聚焦在「像」的議題上，加個子佈題：「像，是怎樣像？那些地方像？」；但因為是具體物，學生相關的發表，不容易回到數學元素。
3.建議刪除，直接從第二個活動開始暖身即可。
Section II
1.混用了「不像」和「不一樣」，所以學生昏了
2.所以即使學生進行比對的活動，比對的是「一樣或不一樣」or「像或不像」呢？
3.建議先從活動中溝通用語，提問：「那些像了？但它們一樣嗎？」；另外，在討論的素材上，要特別挑選，才容易進入數學討論
ps.圖形可能不一樣但是卻像
Section III
1.教師未察覺混用兩個用語，遊走在「不一樣的」和「不像的」之間
2.建議將核心問題改成：「請畫出兩個確定很像但不一樣的三角形」
Section IV
1.只有一組資料，難以歸納特性
2.「角度一樣了，感覺就都一樣」是個模糊用語。在三角形中，角度一樣了，就像了，而非一樣；在多邊形中，角度一樣了，還不一定像。
3.建議先就三角形討論，並多給幾組資料進行比對；後來才拓展到多邊形。
最後~
邏輯如下
1.溝通用語－「大一點」
2.以「大一點」做為一個引發（trigger），檢視孩子的操作過程及結果
3.透過比對突顯相似的數學組成元素，並進行檢驗
訂閱：
文章 (Atom)