數學活動-四下時間單元篇

在數與量(N)的能力指標中,確定數值就是一個數學活動
      方法從最基本的數數(count)逐漸的演變,情境從整數到分數到小數,從精算到估算
      雖著問題情境的變化,要求的不同,解題方法也跟著逐漸進化,到高年級之後,
      甚至能夠透過「除法算則(division algorithm)」 a=bq+r 或應用輾轉相除法原理(a,b)=(b,r)來確定數值
 時間單元在能力指標的分類上歸屬於數與量(N)中的「量與實測」
      既然屬於數與量,則其相關數學活動就長得像數與量,而和幾何篇的數學活動迥異

數學活動(mathematical activities)
「量感的培養」：透過感官或測量工具的使用,讓孩子對量的掌握有初步認識 
「基本時間換算」：所謂的基本換算是指一個數學事實,如1日=24時,1時=3600秒,1日=86400秒 
「解題能力訓練」：確認出發點(條件).終點(答案),進而謹慎踏出第一步,並找尋可能的途徑
「解題策略的比較」： 透過辯證過程的競爭,解題策略的特徵被突顯出來,並且得以存活或進一步演化
「非十進位的單位化聚」：一個量所對應的數的指標可能有多個,例如20.2個10,20個1,在時間單位中13:15=下午1:15 
「雙標記系統」： 系統代表一系列有規則的數對,針對同一個量,系統性的給予兩個不同標記系統,進行比較
 
數學教學活動(mathematical activities in teaching)
「數學事實的背誦」：了解之後的背誦,其用意在於提升提取的準確度和速度 
「節奏性讀題」：迫使孩子面對文字題時能更加掌握問題的重點 
「圖像思考」：將冗長的文字敘述或轉換機制,改繪成簡單.達意的圖像,幫助解題時提取 
「調整難度」：逆向題是提高難度的方法之一,但為了避免難度過高,可以採原題目的逆向題,讓孩子在熟悉問題情境的下進行, 逐次調整
「詳記解題過程」：若牽扯到三階單位,常常會忘記商的單位或餘數的單位,若適時順手詳記下來,可避免錯誤,等待熟練之後,再去除
「調整支持度」： 透過實務操作.圖像或數線標記的支持,孩子們可能比較容易依樣畫葫蘆,但這樣的成功並不是真正的了解,需要多方檢視,在缺乏支持的情況下,依然能夠正常運作,並說明運作的機制時,才是真正的了解
「調整教學脈絡」：在四下時間單元中,孩子們必須經歷過量感.數線支持.某種方法獲得正確答案.用算式把答案湊出來.湊的有理.方法比較與進化...等歷程,所以在教學的過程中,老師必須要伸出觸角去感受大部分孩子的需求,從中調整教學的重點與脈絡
 
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數學四下期中考後-時間-4/4

4/4
目標：熟悉24小時制的化聚.解題能力訓練

Begin
核心活動一~
解題能力訓練
      師:現在時刻是16時,21個小時之後是明天下午幾時?
      生:不知道怎麼算
      師:畫個數線,把時間標記在上面,想想看
      生:明天下午1時
      師:寫成算式,怎麼算?
      甲生:24-16=8, 21-8=13, 13-12=1 所以是明日下午1時
      乙生:16+21=37, 37-24=13, 13-1=1 所以是明日下午1時

核心活動二~
24小時制的數線繪製
      師:畫一條數線,採24小時制,從今天上午0時開始,上面標記總時數,下面標記每日歸零的時刻,如附圖

核心活動三~
解題能力訓練
      師:現在時刻是8時,22個小時之前是昨天的幾時?
      生:不知道怎麼算
      師:畫個數線,把時間標記在上面,想想看
      生:昨天上午10時
      師:寫成算式,怎麼算?
      甲生:22-8=14, 24-14=10, 所以是昨日10時
      乙生:8+24=32, 32-22=10,  所以是昨日10時

===第四節結束===

反思
本節課的重點依然在24小時制的化聚,
      透過數線讓孩子容易掌握時刻.時間的關係,等待孩子們獲得答案之後,再要求他們把答案湊出來
      接著,要他們湊的有理,搭配數線圖進行說明  
      在24時制的計算中,個人是比較傾向歸零.分段的方式,也就是甲生的方法

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手札如附圖

What is mathematical activity and in teaching?

What is mathematical activity and in teaching? 

噹噹噹~上數學課了

        老師站上講臺,嘴巴開始講一些「數學知識」,黑板畫一些數學知識,手中寫一些數學知識,透過老師熱情賣力的演出,數學知識逐漸傳輸到孩子的腦袋瓜                      

但~往往練習最多.進步最多.能倒背如流的人是「老師」,所以老師累垮了,學生輕鬆的很

        此類的數學課是透過人類活動(Human activity) 傳送(transfer)數學,勉強只能算是數學活動(mathematical activity)的一種,但並非全部

    Base on the principle of "learning by doing".

        所以嘗試設計一些數學活動,讓學生不僅僅是坐著聽,而是有事情做的,把學習的主體交還給學生

   所以才有「數學四下期中考後-四邊形-1/5~5/5」的產生

   這麼一來,學生很累,也學得更多

數學活動(Mathematical activities)

所謂數學活動就是孩子在進行這些活動的當下,就是在做數學或數學化(mathematizing)

那麼,到底在這個單元有哪些數學活動呢?這些數學活動的用意是什麼呢?

「分類活動」：透過比較(compare).比對(contrast)進行歸納,歸納後的結果是幾個類集(set),分類活動有兩個原則:窮盡和互斥

「數學分類基準說明」：透過說明分析出數學元素,這些元素可以做為分類的基準,它就像是一把刀,用來決定類集,在數學課中則以數學基準為主

「命名活動」：透過命名釐清類集與基準之間的關係,每一個類集依照數學分類基準進行命名

「新例的判定」：透過判定用來釐清正例.非例或反例

「數學工具的使用」：從人體感官性的主觀判定轉向數學工具使用的客觀判定

「再分類活動」：透過分類基準的調整,分類後的結果可以進行調整或細分

「繪製活動」：透過繪製活動表徵出數學類集和其重要元素

「複製活動」：透過繪製活動表徵出數學類集.重要元素和次要元素

「組合活動」：透過組合活動的嘗試錯誤,對數學類集有多元和深入的了解

「數學事實活動」：累積數學事實可以做為數學類集或原理等等的判準

數學教學活動(Mathematical activities in teaching)

數學教學活動的功能在於讓孩子進行數學活動時,能夠提升提升效果(effect)和效率(efficiency)

「溝通」：溝通的用意之一在於避免孩子失焦,讓活動可以是數學的,並且提高活動效能;之二在於改寫成數學語言

「多元思考」：詢問「這次是用...,請問還有沒有其它可能性?」

「挑戰」：挑戰是引發孩子們內在動機的重要因素,當孩子們完成一個階段的任務後,加一點點難度

「降低難度」：如果原問題經過引導之後,孩子們還是沒有適當的想法,必須給予適當的支持,降低難度

「圖像思考」：將上課活動的結果整理成一個圖像,讓孩子在日後的解題中,易於提取使用

「概念衝突」：數學條件和答案中間包含一連串解題步驟,透過程序性的自我檢查,產生衝突,並調整步驟

「記號活動」：記號用來節縮冗長的描述,記號活動的成品可以做為下一個活動的討論材料

「解題能力訓練」：參考解題文獻,從中擷取本節適合的技巧進行訓練

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Chance → Action →Dream

數學四下期中考後-時間-3/4

3/4
目標：熟悉12小時制.24小時制,進行化聚並給予適當的標籤

Begin
引子~
先跟孩子們聊聊一天的作息,
      並指出「中午12點」把時間分成上午和下午,深夜12時把時間分成今日和明日

核心活動一~
12小時制的化聚問題
      師:現在時刻是上午8:45,經過4時30分之後,是下午幾時幾分?
      生:直式8:45+4:30=13:15→下午1:15
   子活動一
   逆向題,從下午著手
         師:現在時刻是上午7:30,經過多久的時間,才會到下午5時?
         甲生:12:00-7:30=4:30, 4:30+5:00=9:30
         乙生:下午5:00→17:00, 17:00-7:30=9:30
    總結與練習
         上午和下午的差別在於加減12時,可以透過「數線」幫助了解

核心活動二~
24小時制的化聚問題 
      師:現在時刻是16時,經過多久的時間,才會到明天18時?
      生:18-16=2
      師:先要求孩子們把數線畫出來並做正確的標記
      生:26時
      師:對了,那算式該怎麼寫?
      甲生:18-16=2, 24+2=26
      乙生:18+24=42, 42-16=26
      丙生:24-16=8, 8+18=26
   總結與練習

===第三節結束===

反思

從引子中可以察覺到孩子熟悉上午.下午.昨日.今日.明日這些詞,但對於換算上是不熟悉的
      也可以說,在「定性:數學性質」上是OK的,但在「定量:單位轉換」上是模稜兩可,所以定量成為本次學習的重點
核心活動一是12小時制的化聚問題,解法大致可以分成兩類,
    因為孩子的生活經驗中,中午12時是個切割點,所以在自然的情況下,孩子可能會選擇甲生的作法,
    但~因為上午.下午的變化單純,所以個人比較期望孩子在此類型問題上,能夠使用乙生的作法
核心活動二是24小時制的化聚問題,解法大致可以分成三類,
    因為此類問題可能牽扯到數日前.昨日.今日.明日.數日後,
    所以此階段個人比較期望孩子至少能熟悉丙生的作法,也就是當日了結的作法

    另外,核心活動二所展現的教學模式,是孩子在有具體物(如手指)或半具體物(如數線等圖形)的協助下成功之後,

       請他列式,再逐一提升作法,這種「先求會再列式」的教學模式,也是很推薦的一種教學模式
最後~就是練習了

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手札如附圖

      
  

數學四下期中考後-時間-2/4

2/4
目標：基礎時間單位換算的使用

Begin
核心活動一~
複習1/5 核心活動三,並繪製簡單解題路徑圖
      師:在上一堂課我們曾經算過1日2分=86520秒,使用兩種方法
      師:這兩種方法,我們畫一下它的解題路徑,如附圖

核心活動二~
1/5 核心活動三的逆向題
      師:86520秒=?日?時?分
      生:1日0時2分啊
      師:怎麼知道?
      生:跟剛剛那題一樣
      師:對,如果要用算的,該怎麼算?
      生:開始小組討論
       (解題方式有兩種,參考附圖)
      師:叮嚀,計算過程中記得把單位標記上去,比較不會忘了

   子活動一~
   協助歸納與理解兩種算法的不同與利弊
         師:2500分=?日?時?分
         生:計算過後
         師:針對解法一,提出換算原則:本身和鄰近的兩個單位做一階層的換算
         解法二相對上來說是一個比較危險的解法
   子活動二~
   練習並說明

===第二節結束===

反思
本節課的重點依然在讓孩子們熟悉時間單位的換算與使用這些換算
核心活動一期望透過簡單解題路徑圖的繪製協助孩子們了解兩種解法的差異
核心活動二是逆向題
子活動則期望孩子們藉由解題原則的提醒,對兩種解法能深入了解
ps.透過圖形化的協助與指引,孩子們在依樣畫葫蘆上的表現會提升,但需要多方檢測
     在離開情境時也能正常運作,並且說出運作的原因時,才算真正了解
     否則可能只是停留在程序性解題步驟的模仿

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手札如附圖

數學四下期中考後-時間-1/4

數學四下期中考後-「時間」單元該進行那些活動呢?
主要處理「三階的巢狀數」和「化聚的符號表徵」

1/4
目標：先熟悉時間單位的換算,再進入解題(換算結果之「用」)

Begin
引子~
先跟孩子們談談時間語詞的運用,檢視一下孩子們對時間的量感

核心活動一~
透過簡單的時間換算,讓孩子們熟悉時間單位的換算
      師:1日有幾個小時?
      生:24小時(師寫下   1日=24時)
      師:1時有幾分鐘?
      生:60分(師寫下   1時=60分)
      師:追問,那1日有幾分鐘?
      生:計算回答1440分鐘(師接續寫下   1日=24時=1440分)
      ...如附圖手札
      ps.整理後的結果要背要小考

核心活動二~
提醒孩子們該單元的解題技巧：1.辨別問題類型2.依照類型選擇策略
       師:算題目的時候,要先想想題目說了些什麼?
       師:接下來,要清楚題目要我們求什麼?
       師:想一想,第一步要怎麼做?
       ps.這是解題的心智習性(habits of mind),在數學的學習道路上,非學不可,早一點養成習慣,早一點好
            目前有些孩子們看漫畫過多, 他們讀題是圖像掃描,而非一字一句,
            對付這樣的孩子,一定要他把題目有節奏的朗讀出來(所為節奏是必須斷句的意思)

    核心活動一之子活動~
    透過圖形協助孩子掌握時間的量感和換算的機制,實際上是將核心活動一的部分改繪成圖形
       師:剛剛說1日有幾個小時呢?
       生:24小時(師畫出   1日等於24時的換算關係圖)
      ...如附圖手札
    ps.孩子們解題時所驅動的基模,經常是圖像式的而非冗長的文字記憶

核心活動三~
      基礎時間單位換算的使用
      師:1日2分等於幾秒?(小組討論)
      生:86520秒
      師:怎麼算的?
      生:1x24=24
           24x60=1440
           1440+2=1442
           1442x60=86520
      師:配合核心活動一和子活動一的圖像,進行解說,重點在怎麼「用 」
      ...
      師:還有沒有其他算法?
      生:1日=86400秒
           2分=120秒
           86400+120=86520
      師:配合核心活動一和子活動一的圖像,進行解說,重點在怎麼「用 」
      師:說說看,那個解法的差別在哪裡?或說用到哪些不同的基本換算
      ps.第一次使用,可以提供孩子們之前所整理的圖像或文字,讓他們使用

===第一節結束===

反思
引子.核心活動一和子活動一三者是一個套組(set),重點就是要孩子們對基本時間換算倒背如流
       是一個壓縮單位(compact unit),這樣才能有利於後續活動的使用
核心活動二是各單元都適用的活動,這單元特別提出是因為,在此單元尤其重要
核心活動三的重點在於基本時間換算的「用」,在用的情境下熟悉用,並熟悉多元的使用方法

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手札如附圖

數學四下期中考後-四邊形-5/5

5/5
目標：【數學解題與數學語言】

Begin
核心活動一~
解題能力訓練
      師:有一個等腰三角形,一邊長5cm另一邊長6cm,一個角53度,問其他兩角的度數。
      ps.這是一個討論題,必須先作出等腰三角形,才能進行後續的解題

核心活動二~
這是將4/5中核心活動二的子活動數學語言化,並透過符號標記後的成品,進一步討論平行四邊形的數學組成
      師:數學語言的介紹與標記
      師:從標記後的圖形,孩子們還看到哪些特性呢?(例如:內錯角相等)

===本單元結束===

反思
老師的職責之ㄧ是「擴大孩子們的學習機會」←引自《甯語集》
所以嘗試提供數學解題與數學語言兩項元素

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手札如附圖

數學四下期中考後-四邊形-4/5

4/5
目標：透過【複製與組合】深入了解平行四邊的數學特性
ps.本節課是3/5的延伸,也可以視為一種多元評量

Begin
引子~
在黑板上畫兩個三角形,說明角A=角D,角B=角E,角C=角F,邊AB=邊DE,邊AC=邊DE,邊BC=邊EF
      接著說,這兩個三角形其實「完全一模一樣」,也可以說是「完全相等」,簡稱「全等」

核心活動一~
透過圖形的複製了解平行四邊形的全等
      師:請你畫出兩個全等的平行四邊形
      生:透過尺規作圖,畫了兩個平行四邊形
      師:用剪刀把其中的一個剪下來,和另一個比對看看,有沒有全等
      生:透過覆蓋的比對,反思自己的作圖過程,是否掌握平行四邊形的重要數學特性

核心活動二
透過圖形的組合了解全等平行四邊形在邊與角的數學特性
      師:把剛剛剪下來的平行四邊形,描邊,畫在本子上
      師:畫好之後,老師把剪下來的這個平行四邊形,從對角線剪開,
          要求孩子組合成原來的平行四邊形
      師:再把另一個平行四邊形剪下來,描邊,畫在本子上
      師:畫好之後,老師把剪下來的這個平行四邊形,從另一條對角線剪開,
          要求孩子組合成原來的平行四邊形

    子活動一~
    透過三角形的全等性質了解平行四邊形的全等
          師:先要求孩子試著說說引子活動中三角形的全等,並做上記號
          師:再要求孩子三角形貼到平行四邊形的框框中,從原三角形的記號觀察平行四邊形的特性

===第四節結束===

反思
在數學上的重點在於藉由複製與組合深入了解平行四邊形的數學特性
引子的功能在於溝通
核心活動一其實包含兩個活動,其一繪製,其二複製
      繪製時至少必須掌握兩組平行的數學特性,複製時則必須多注意底和高的掌握
核心活動二是一個簡易七巧板的活動,體驗幾何圖形的多元變化
子活動一是以基本幾何圖形,也就是三角形,來了解其他的幾何圖形

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手札如附圖