教案設計-五上-整數的簡化計算-3

教案設計-五上-整數的簡化計算-3

 【基本理念】

       本節主要是在前兩節的運算基礎上處理妙算；既然要妙，那佈題的數據先得妙才行，然後再透過不同解題策略的比較，這時候是比快速囉，促使孩子使用妙算，進而善用妙算。

       特別需要小心的是，老師覺得妙的數據，孩子並不一定能夠察覺。如何協助孩子察覺，或如何協助孩子在日後能察覺是重要的。

3/3

目標：處理妙算，包括兩個部分

      1.連加、連減、連乘、連除的妙算

      2.包含括號的妙算，也就是去括號

Begin

核心問題一~

       連加、連乘的妙算

       師：（口語佈題）孩子們，老師來考一下大家的計算能力，13加28…

師：再加72…

師：再加87…答案是多少？

生：200

師：我剛剛的題目是出怎樣，念給老師寫一下（記在黑板13＋28＋72＋87＝？），答案200對不對。

師：有沒有人可以一眼看出答案的？

生：有

       師：你會怎麼做，說說看？

       師：把你的方法寫一下（需不需要加括號呢？不需要）

       師：各位同學，有兩種方法，那一種快？

       師：快的方法是怎麼做的？

       生：湊數字，把加起來是100的數字湊起來。

       師：練習9＋99＋999＋20＝？

（連乘的妙算也大致如上）

核心問題二~

       連減、連除的妙算

（連減、連除的妙算，在前半段也大致如上）

       …

       師：把你的方法寫一下（需不需要加括號呢？需要）

       師：各位同學，有兩種方法，那一種快？

       師：快的方法是怎麼做的？

           生：一次減，把要減的數加起來，再一起減。

（連除的妙算也大致如上）

核心問題三~

       去括號的妙算-乘法對減法的分配律

師：（口語佈題）老師昨天到書局買鉛筆盒，1個98元，老師買了3個，給了300元，這時候很妙的，店員拿了2元、又2元、又2元給我，你們知道我花了多少錢？

生：294元

師：答案對，你怎麼知道的？上黑板寫一下算式。

生1：300-6＝294

生2：98×3=294

師：原來98×3=300-6，有人知道為什麼嗎？（小組討論一下）

師：（練習）99×53＝？

       去括號的妙算-乘法對減法的分配律

       在上述的基礎上，直接給孩子挑戰看看102×15＝？若無法再退回情境佈題。

核心問題四~

       在上述的基礎下，拓展到加減混合、乘除混和或四則混合運算的問題類型。

============第三部分結束==========

反思

1.本節課從核心活動一開始，就直接以計算題的方式進行不同解題策略的比較，若孩子還是無法了解「妙算」的好處，那可能就得退回情境題。口語佈題的目的在強迫孩子使用原先由左而右的計算規則，等待老師要求孩子把問題記下來之後，提供孩子找尋新解法的一種喜悅。

2.本節課主要在處理妙算，既然要妙算，那老師在問題情境中的佈題數字就得妙，讓孩子們在策略的選擇上有其需求。如果老師發現不妙，那就得先給孩子一些數學事實，如25×4＝100…等等；當然，從課堂討論中，技巧性歸納這些數學事實也是很棒的。

3.因為括號的引入是本節課的教學重點，所以在孩子發表想法之後，一定得要求孩子寫下算式，並請孩子們一同檢視運算規則

4.妙算情境所拓展的新運算規則，需要內醞化成一句話，如分開減、一次減…等等。

最後，「整數的簡化計算」這個單元包含不少的運算規則，所以強烈建議這三個部分最好分開進行，每個部份實施後，先跑些其它單元的課程，讓孩子熟悉一個部份的規則後，有穩定的解題基模後，再加下一步，再加下一步。

a tour of knowing-魔術方塊在小五的體驗

a tour of knowing-魔術方塊在小五的體驗

      魔術方塊喚起了我們這一代小時候的記憶。想著當時廢寢忘食的把玩；想著當時從一面到兩面到三面，經歷的驚奇與喜悅；想著當時獲得秘笈的欣喜，以及因為無人指導，看不懂秘笈伴隨而來的沮喪。這就是我們的小時候，在沒有太多電視台可以選擇，沒有太多APP可以下載的年代，我們卻玩得很開心；身為一個喜歡探索的老師，該怎麼樣讓自己班上的孩子也享受一下當年的魔術方塊之旅呢？

【目標】

帶孩子們轉魔術方塊，目的並不是讓孩子很快的學會轉魔術方塊，而是讓他們「體驗一個學習之旅」；因為轉魔術方塊沒有進度壓力，所以老師可以從中看出孩子的學習動機，學習風格和自信心，並從中培養孩子們討論學習的風氣。

【對孩子認知的了解】

首先老師必須先了解孩子在轉好六面的過程中，可能會經歷五個階段和兩個瓶頸，在瓶頸處多給學生一點時間摸索。

Level 0 基本能力：轉好一面

Level 1 一面一層

Level 2 一面兩層

Level 3 兩面兩層

Level 4 六面

瓶頸一：一層一面 → 一層兩面：成功的代表會看說明書
瓶頸二：二層兩面 → 六面：成功的代表會靈活組合公式

【課程開始】

接著活動的進行很簡單~A1.二個多月前開始這個活動，先教到一面兩層
這時候會發現，有些人很有興致，但有些人卻是卻步不前（採自由鼓勵方式）
A2.等到班上孩子漸漸的沒人轉魔方的時候，再教一次課
教學教像丟石頭，當漣漪停止時（已經會了或遇到瓶頸），再丟一次
A3.重複2的活動
重複丟石頭，然後會發現轉魔術方塊的族群就會日益增多
A4.讓孩子們師徒方式互相觀摩學習

A5.一個多月後進行個人檢核，並協助突破瓶頸
A6.二個月後辦理比賽
A7.最終回驗收~有七成五的孩子們可以成功轉好六面

【讓孩子從活動中體驗到】

「成功的人並不是因為很聰明，也不是因為很努力；成功是因為可以堅持到最後~」

最後來一篇作文→「成長的喜悅~魔術方塊的學習」

【心得】

       從自己本身的活動企圖到最後的驗收，有以下幾個心得

一、魔術方塊和數學有什麼關係？

       在小學中，或說在我安排的這個活動中，並不是真的解魔術方塊這個數學問題，這個活動只不過是讓孩子看得懂秘笈，並依照類型選擇步驟進行。

他和數學解題有兩個很類似的地方

       1.公式：孩子們要背一堆步驟，就像我們解題時，一步一步又一步的計算。

       2.公式的選擇：孩子們要選擇哪個公式，就像我們解題時，要先判斷題目類型，才能決定使用那個解題策略。

二、活動的設計原則

       最主要的原則就是「吹皺一池春水」，A1~A3中每一次的教學教像丟下一顆石頭，當漣漪停止時（孩子已經學會了或遇到瓶頸），再丟一次。A4主要是培養孩子彼此模仿討論的習慣，當孩子們彼此的協助沒有奏效時，可能是遇到瓶頸，所以衍伸出A5；A6~A7；則是期望藉由外在動機的脅迫，促使孩子學習的節奏。

三、孩子學習百態

       從孩子的學習中可以看到許多類型的學習風格

       1.聰明又努力：這類的孩子可以很快的自學或透過彼此討論就完成。

       2.不聰明但努力：這類的學生需要不斷的協助，而且會卡卡，需要再多給他一點時間，慢慢走，走久了還是會到達目的地。

       3.聰明但不努力：受到班上同學的刺激，這類的學生會在「學」與「不學」之間拉鋸，一但他決定要學，大部分很快就成功了。

       4.不聰明也不努力：這類的學生其實也曾努力嘗試過，但每一步都是瓶頸，加上外在刺激過多時，很容易就放棄了。

四、突破瓶頸

       基本能力－「轉好一面」，本身就是一個瓶頸；但對小五的學生而言，大多沒有這個困難，所以瓶頸有兩個－「看懂秘笈」、「公式組合」。在指導上宜「放慢指導速度」並「鼓勵信心」，讓孩子有充裕的時間不斷地嘗試，砍掉重練砍掉重練，把成功和喜悅留給孩子。

五、一樣的活動不同的體驗

       以前就曾經看過不少班級教過魔術方塊，所以我這次在進行這個活動時，特別反思它存在的意義與可能性，基本上我把它分成三個不同類型的體驗活動

       1.在知識上：學會轉六面

       2.在情意上：享受成功的喜悅

       3.在信念上：體驗學習的本質

       如果目標僅在知識層面，那活動不用拉到兩個月，一到兩星期即可全班完成；如果目標放在情意層面，那進行完這個活動，又得再找下一個活動來進行；所以我是把目標拉到信念層面，期望孩子在檢視自己的學習和別人的學習中可以體驗到「成功的人並不是因為很聰明，也不是因為很努力；成功是因為可以堅持到最後~」

  END~

數學科教學觀摩和入班觀察~【閱讀教學者】

數學科教學觀摩和入班觀察~【閱讀教學者】

【閱讀教學者】

因為教師專業評鑑的關係，所以現在還蠻流行「入班觀察」，但是雖然研習手冊有一大堆輔助工具可以使用，但人腦就一顆，怎麼填？認真填完之後，大概還是不太清楚這個老師的教學到底如何？

       若說教師專業評鑑得交差了事，那該做的檢核資料當然還是得完成；但若只是自己想要透過教學觀摩，精進自己的教學，倒是可以參考以下的作法。

 一、流水帳記錄，如圖一、圖二

       時間軸、自己看得懂的簡單註記

 

 

 二、針對文件（text）進行超快速質性分析（多練習幾次，觀課後5 -10min即可完成）

       質性分析就是加一些編碼（code），然後切割活動，在數學課中，最重異的切割點就是佈題，以及佈題之後要求孩子們所進行的活動；接著，依照「教學脈絡」、「教學技巧」兩個維度進行組織；當然在可能情況下，可以採用「教學意象」的方式做一個統整。

 範例：分數除以分數

我以「起承轉合」式教學模式進行統整如下：

「起1」

Q1：這四分之三張紙要等分成3份，1份是多少？

Demonstrate
「起2」

Q2：還是一樣四分之三張紙，每四分之一張一份，全部分完，可以分成幾份？

Display→Why?→Write down

「承」

Q3：這裡有八分之六瓶的飲料，一人喝八分之二瓶，全部分完，可以分給多少人？

Discuss→Display→Write down

「轉1」

Q4：四分之三張紙，每四分之二張分成一組，盡量分完，會有幾組？請你畫畫看。

Display→Why?→Write down & Discuss

「轉2」

Q5：八分之五條的蛋糕，每八分之三塊裝成一盒，盡量分完，會有幾盒？請你畫畫看。

Display→Why?→Write down

「合1」

Q6：黑板上共有4個等式，請同學看看它們之間有什麼相似的地方。

To see is to believe→Discover

「合2」

Q7：一盒餅乾有8個，吃剩下四分之三盒，謝老師把每八分之一盒裝成一袋，全部裝完，可以裝成多少袋？

【一場教學一個故事】appreciated by observer

       有了上述的資料，於是觀課者可以了解教學者的企圖，也可以順便幫幫教學者寫寫教學心得。

今天想要讓孩子們體驗一下「分數除分數」的規則。先用簡單一點的問題試試水溫，「起1」的問題很簡單，所以我直接講解，算是溝通情境，留「起2」讓孩子們想想。

       眼看著孩子們的表現還不賴，就來提升點難度，所以開始「承」，但心中又害怕孩子們不太會，所以就先讓孩子們先提點意見和看法，再讓孩子們自己作答。

       孩子們的表現漸入佳境，那主餐「轉1」就給它上來吧，數字先小一點，讓孩子們透過畫圖或操作可以看到答案；但這裡有個核心問題必須處理，所以加點難度，利用「轉2」來徹底釐清。

       經過「轉1」、「轉2」的引導，終於收到不少孩子的想法，透過「合1」的式子比較，看看孩子能歸納出什麼規則？接著，「合2」就讓孩子用「合1」的方法進行練習。

【從教學觀摩中學什麼】

一、閱讀教學者

二、教學脈絡的鋪陳

從教學脈絡中看教學者原先的企圖（教案），以及上課調整的情形；例如，「轉2」可能是突然加進來的。

二、教學技巧的選用

在每個佈題之後，老師會估計孩子的可能情形，採取不同的教學技巧；例如簡單的問題可以輕輕帶過就好，難的問題則需要常時間的討論、發表，而且發表後的解題策略還需要進一步比較。

有了這樣的利器，老師就可以從「一般的眼看」邁入「專業的心看」^^

註：「一般的眼看」v.s.「專業的心看」

【一般的眼看】

1.可以看到班上有一個老師、許多學生

2.老師出了一些問題，並且解決了一些問題

3.學生回答了一些問題或只是聽聽

4.老師要求學生做一些稱之為數學課的事，學生也做了些稱之為數學課的事

…

但要【專業的心看】，觀課者要能

1.看到老師的企圖，而該企圖是否達成

2.看到老師對教材的處理方式，是片面性的記憶或全面性的探究

3.看到老師對核心問題的鋪陳，而該鋪成方式是否有效

4.看到老師的教學節奏，是否行之所當行，止於所當止

5.看到老師對學生經驗的掌控，對學生反應的回饋

6.看到老師在課室進行中所進行的診斷觀察及調整

7.看到老師的教學信念

…

「有效教學線上研習入口網」觀賞後心得4:魔術數學的反思-找規律和符號列式

「有效教學線上研習入口網」觀賞後心得4:魔術數學的反思-找規律和符號列式

魔術、代數教學一值是我很有興趣的主題，所以特別花了不少時間才把觀賞後的心得完成，算是告一個段落。

  【符號列式的幾點想法】

       1.從規律到符號列式

  近年有許多的研究採以「找規律」的方式進入代數式，甚或是藉由表格的方式幫助學生看到代數式，但「看到」並不是終點，必須加一個心理運思活動（mental operation）協助學生節縮掉製表或繁雜的過程。

2.針對單一情境，學生可以透過步驟的模仿，在不知其所以然的情況下建立方程式，所以在方程式的教學活動中要特別側重於外在效度，多嘗試各種類型的情境。（參考未知數原理）

3.對學生而言，符號列式的重點不在代數式，而在關係的建立，然後是關係的轉換（等量公理）。

本文分三部分

一、教學活動的鋪陳（教學脈絡）

二、提出一些看法、猜想及建議

三、心得

一、教學活動的鋪陳

影片經過剪輯，所以只能平實的紀錄我所看到的；從線上入口網所提供的2段影片，剛好呈現2個section。

Section I

       1.表演一個魔術

       2.核心佈題：「老師需要哪些資訊，才有辦法預言成真？」

       3.引導孩子說出某項資訊

       4.重述魔術表演的步驟

       5.提供學習單， 兩兩 一組，要求學生進行演練，並嘗試找出一些資訊

Section II

       1.透過power point協助學生發現資訊，如

           第1 題（自問自答）

           1)你發現什麼？

           2)關鍵是什麼（答案或想法中那步驟重要）？

           3)你是怎麼想的？

           4)怎麼確認你的想法是對的（證據在哪裡）？

           5)答案可以進一步簡化嗎？？

       2.巡視學生解題情形

       3.學生發表

       4.學生再解題

二、提出一些看法、猜想及建議

       1.雖然主題是「找規律和符號列式」，但所影片呈現的只有前段，也就是找規律的部分。

        2.整個教學脈絡很流暢，我利用先前所提的「起、承、轉、合」教學法，組織如下：

「引子」Section I-1

「起」Section I-2.3

「承1」Section I-4.5 SectionII- 1.2.3

「承2」SectionII-4

       在教學脈絡上，可以這麼處理。「承1」的部分主要在促使學生想法的多樣性，但經過初步的發表，學生之間必有議論或模仿，所以「承2」的部分可能進一步呈現更多的想法，但也有可能因為強勢解題策略出頭，也就告一個段落。

       既然是告一段落，「承2」就變成「合」了，但在這樣情況下匆促結束，學生難免成為「知之為知之，不知為不知」，若要完整照顧到大多數的學生，可以增加「轉」的兩個子活動，如下：

子活動一：簡記活動
師：「學生們，你們這麼長長的描述，看起來好暈喔，可不可以用些符號來代表，試試看？」

       子活動二：表格化

師：「學生們，你們這麼多的數據，跳來跳去，太閃了，可不可以用表格把它整理起來，試試看？」

       透過上述兩個數學化活動，學生自然能夠去繁為簡，在後續的活動中，要引出代數式也比較容易。

        3.Section I中所展示的張數是14張，但Section II中學生報告的張數是10張，可見問題情境有調整過。

       但實際上，若要調整這個魔術的難度，並不是調整張數，而是調整魔術的步驟，將可變因素固定下來，我將它分成三個難度：

       Level I   兩排張數相同，預測後不對調牌子

       Level II  兩排張數不同，預測後不對調牌子

       Level III  兩排張數不同，預測後可對調牌子

       師：「我們可以先把這個魔術怎麼改？」

       透過這個維度的難度調整，可以協助更多的學生成功，然後再逐步挑戰。

        4.部分孩子已經能使用表格和簡記的方式進行解題，所以可以在學生發表後，就增加「轉」的活動，讓學生練習這兩個數學化活動，有助於日後規律的尋找與符號列式。

        5.學生的發表能力很好，似乎已建立穩定的數學的社會規範（social-mathematical norm）；實際上，如果能把這樣的數學的社會規範建立起來，那課程素材是什麼，就變得不是那麼重要了。

三、心得及感想

1.魔術數學包含很多的驚喜，但學生對整個活動卻是陌生的，若在「引子」之後，能先請學生在不知其所以然的情況下，依樣畫葫蘆的先把魔術完成，再進行討論，或許學生能更進入狀況。

      2.魔術數學所引發的強烈破解動機，可能導致學生們躲避其他學生的發表；也就是說，當學生投入的深度愈深，其實他是沒辦法停止，當然也很難聽取別人的意見，所以對老師而言，在時間的掌控上是一件挑戰。

      3.上台報告的學生雖然報告的振振有辭，老師也可能覺得井然有序，但很有可能沒有學生聽得懂；特別是，採用不同思路的學生，短時間內根本無法進入討論。

4.強烈建議「魔術數學」只用在資優班或專題研究（沒有進度的課程），因為他需要時間，在時間充裕的情況下，才能發揮它的魅力，讓學生能在此外在動機的強力驅使下，透過三個難度的鋪陳、數學化活動（簡記活動、表格化、節縮活動）的引入，過關斬將，而提升其內在動機。

       相反的，如果放在一般的課室教學，首先是在時間的掌控上很不容易，其次是一般的老師不容易進行，最嚴重的是打壞學生的學習胃口。

       生：「老師，這節課怎麼沒有魔術可以看？」

       師：「ㄨㄚ-ㄌㄟ…我那這麼厲害，即便有，我也沒那個體力啊!」

       生：「…ㄡ….（失望中…）」

       師生之間的社會規範（social norm）可能遭到損害。